Particella in potenziale a gradino,delta e barriera infinita

[amivaleo]

ciao a tutti,
ho un esercizio di meccanica quantistica in cui non riesco bene a trovare la funzione d'onda:
ho un potenziale del tipo:
$V(x) = V_A(x) + V_B(x)$
dove
\(V_A(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ V_0, & 0a \end{cases}\)
e
\(V_B(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \gamma \delta(x)\)

$V_0, \gamma, a$ sono parametri tutti maggiori di $0$. $\delta$ è la delta di Dirac.

la richiesta che vi pongo è semplicemente trovare quali condizioni devono soddisfare i parametri affinchè esista almeno uno stato legato.


io so che la delta ammette stato legato solo se l'energia è negativa (perchè in questo caso la delta è "negativa"). per cui cerco di costruire la funzione d'onda tenendo conto che $E<0$. questo mi darà onde evanescenti sia per $x<0$ (regione 1) sia per $0
$\phi_1 =Ae^{\rho_1x}+Be^{-\rho_1x}$
$\phi_2 =Ce^{\rho_2x}+De^{-\rho_2x}$

(ometto di dire cosa siano $\rho_1$ e $\rho_2$ e come sono legati. non è questo il problema)
appena impongo le condizioni di raccordo, non riesco più ad uscirne fuori. ho infatti che:

1. $\phi_1(0) = \phi_2(0) $:
\[A+B = C+D\]
2. $\phi_2(a) = 0$
\[Ce^{\rho_2a} + De^{-\rho_2a} = 0\]
3. $\phi_2'(0)-\phi_1'(0) = -\gamma \phi_2(0)$
\[\rho_2C - \rho_2D - \rho_1A + \rho_1B = -\gamma(A+B)\]

e ora? devo mettere insieme le tre condizioni di raccordo per trovare la condizione per la quale esiste almeno uno stato legato. ma non riesco a giocare adeguatamente con le tre equazioni di raccordo. sapreste darmi qualche consiglio su come compendiare queste 3 equazioni in una sola?

grazie in anticipo per le risposte