Particella in accelerazione.

[Antonio_80]

Ma se ho l'accelerazione in funzione della velocità che è data dalla seguente relazione:

$a= 5-0.2 V^2$

quando la particella raggiunge la velocità di $V = 2.5 m/s$, io avrò l'accelerazione che sarà

$a= 5-0.2 (2.5)^2 = 3.75 m/s^2$

suppongo che sia $3.75 m/s^2$ anche se non conosco le unità di misura di $5$ e $-0.2$, ma dato che si tratta di una formula che si riferisce ad una accelerazione, deduco che la $a$ sia dimensionalmente $m/s^2$.

Bene, se allora ho che $a=3.75 m/s^2$, nell'istante in cui avrò $V=2.5 m/s$ avrò che il tempo impiegato ...., sarà:

$t=V/a = (2.5)/(3.75)=0.666 s$

Ma perchè non mi trovo con il risultato del testo in cui dice che deve essere $t= 0.549 s$

Mentre lo spazio percorso, per me vale:

$x = 1/2at^2 = 1/2 * 3.75 * (0.666)^2 = 0.83 m$

Ma perchè non i trovo con il risultato del testo in cui scrive $x= 0.719 m$

[professorkappa]

Perche non e' vero che $t=V/a$. L'accelerazione non e' costante, varia con la velocita'
Quindi

$[dV]/[dt]=5-0.2V^2$

E da qui devi integrare per trovare V(t) (con le condizioni iniziali) e poi integrare ancora per trovare s(t)

[Antonio_80]

Infatti, ho sbagliato a fare le considerazioni!
Adesso provvedo a risolverlo!

Ho il seguente integrale che non sto riuscendo a risolvere $t=int_0^(V_f) (dV)/(a_o - cV^2)$, compare svolto nella seguente immagine:

Ho pensato di fare un cambio di variabile, cioè $y=cV^2 -> dy = 2cV*dV -> (dy)/(2cV) = dV$

sapendo che $a= a_0 - cV^2$ e che il corpo parte da fermo, si ha che $a=0$ e quindi $0= a_0 - cV^2$, avrò che
$V= sqrt(a_0/c)$
e quindi
$(dy)/(2cV) = dV -> (dy)/(2c*sqrt(a_0/c)) = dV$ che a sua volta diventa $(dy)/(2sqrt(a_0* c)) = dV$

per cui, l'integrale diventerà

$t=int_0^(V_f) (dV)/(a_o - cV^2) -> $


$ 1/((2sqrt(a_0* c))) *int_0^(y_f) (dy)/(a_o - y)$

Che risolto mi darebbe:

$1/((2sqrt(a_0* c))) * [ln ((a_0 -y)/(a_0 - y))]_0^(y_f)$

come faccio ad arrivare all'integrale che il testo scrive

$1/((2sqrt(a_0* c))) * [ln ((sqrt(a_0/c) +V)/(sqrt(a_0/c) -V)) ]_0^(V_f)$

[professorkappa]

"Antonio_80":

sapendo che $a= a_0 - cV^2$ e che il corpo parte da fermo, si ha che $a=0$ e quindi $0= a_0 - cV^2$, avrò che
$V= sqrt(a_0/c)$

Questo non è vero. Un corpo che parte da fermo non necessariamemte ha accelerazione nulla.

Hi visto che da qualche parte to hanno già spiegato come risolvere questo integrale. Usa quello. Però al.solito mi sembra che th abbia un metro di studio nozionistico. E da lei vengono fuori domande e sfondoni che uno non si aspetta dal tuo livello di studi

[Antonio_80]

Ma non è lo stesso integrale, è simile ma non lo stesso!
Adesso replico i passaggi qui, dammi un minuto!

L'integrale di cui parli era il seguente:

$\frac{2c}{2c} int_{V_o}^{V}\frac{V'dV'}{a_0+cV'^2}=1/(2c)int_{cV_0^2}^{cV^2}\frac{dy}{a_0+y}=1/2[ln(a_0+cV^2)-ln(a_0+cV_0^2)]$


Se adesso mi trovo con il seguente:
$t=int_0^(V_f) (dV)/(a_o - cV^2)$

che posso scrivere anche in questo modo:

$t=int_(V_0)^(V_f) (dV)/(a_o - cV^2)$

Se considero $y=cV^2$ avrò $dy = 2cV * dV$ allora $dy/(2c) = V * dV$ e qui si evince che non è lo stesso!

e quindi l'integrale non è corretto come lo scrivo sotto!

$1/(2c) int_(y_0)^(y_f) (dy)/(a_o - y) = 1/(2c) int_(cV_0^2)^(cV_f^2) (dy)/(a_o - y)$

Dove sto sbagliando

Help!

come faccio ad arrivare all'integrale che il testo scrive

$1/((2sqrt(a_0* c))) * [ln ((sqrt(a_0/c) +V)/(sqrt(a_0/c) -V)) ]_0^(V_f)$

[professorkappa]

Mah. Che non è lo stesso si evince dal fatto che sono diversi senza tanti calcoli. Scrivo da cellulare e andavo a memoria. Ma la sostanza non cambia: basta risolvere l'integrale. Il punto fundamentale era scrivere l'integrale di partenza. Il resto sono passaggi matematici. Prova, non ha senso risponderti a spot su qualcosa che con un minimo di impegno trovi su qualsiasi libro. Se risolvono noi questo integrale che hai imparato? Nulla. Impara il metodo, non puoi imparare le soluzione degli integrali a memoria

[Antonio_80]

Ma non si tratta di imparare a memoria, il problema adesso e avere il cambio di variabile che non sto riuscendo a travare uguale a quello del testo!
I passaggi li so fare, ma ho bisogno di individuare il cambio di variabile, e’ quello che mi sta incasinando!

Help!

[professorkappa]

Non occorre alcun cambio di variabile all'inizio.

$ int[dV]/[5-0.2V^2]=int [A/(sqrt5+sqrt0.2V]+B/(sqrt5-sqrt0.2V]]dV $

Con A e B da determinare

Dopo risolvi i 2 integrali con sostituzione di variabile

[Antonio_80]

Vediamo se ricordo come risolvere questo integrale!

$a_0-cV^2=0$ ricaviamo $V=+-sqrt(a_0/c)$ e quindi,

$b=sqrt(a_0/c)$ si ha $a_0-cV^2=c(b^2-V^2)=c(b+V)(b-V)$

$1/(c(b+V)(b-V))=1/c(A/(b+V)+B/(b-V))$

Semplifico $c$ e do denominatore comune; ottengo

$1=A(b-V)+B(b+V)-> 1=Ab-AV+Bb+BV)$
$->->1=(Ab+Bb)+V(-A+B)$

Deve valere per ogni $V$, quindi deve essere

${(Ab+Bb=1),(-A+B=0):}$

Risolvendo questo sistema trovo $A=B=1/(2b)$; portando fuori i fattori costanti il tuo integrale diventa quindi
$1/c*1/(2b) int_0^(V_1) (1/(b+V)+1/(b-V))dV =1/(c*2sqrt(a_0/c))[ln|b+V|-ln|b-V|]_0^(V_1)$
$" "=1/(2sqrt(a_0c))[ln|(b+V)/(b-V)|]_0^(V_1)$


Pfk, dici che ho fatto bene

[professorkappa]

Sara' pure cosi.
Come ti ho detto, il punto nodale qui era l'impostazione dell'eq. differenziale.
La risoluzione tramite calcolo integrale e' solo questione di facchinaggio algebrico.

Per intendersi, se fossi io il professore di fisica, e un candidato mi impostasse un'equazione differenziale errata, risolvendola poi correttamente dal punto di vista matematico, per me sarebbe comunque una bocciatura.