Particella entrante in un campo elettrico e poi in uno magnetico
Una particella di massa \(\displaystyle m = 10^{-9} \) e carica \(\displaystyle q = 10^{-6} \) si trova inizialmente a riposo nella posizione \(\displaystyle x = 0, y = h \) dove \(\displaystyle h = 2m \).
Essa viene accelerata, a partire da una velocità iniziale nulla, da un campo elettrico \(\displaystyle E = 2500x\: V/m^2 \) presente nella sola regione 1 che va da \(\displaystyle x = 0 \) a \(\displaystyle x = L \) dove \(\displaystyle L = 2m \)
La particella entra quindi nella regione 2 dove è presente un campo magnetico B uniforme ortogonale al piano x-y
Calcolare:
1) La velocità della particella quando entra nella regione 2
2) Verso e intensità di B affinchè la particella si muova lungo una traiettoria circolare di raggio h
3) L'energia cinetica della particella quandro incontra l'asse delle x
Primo punto
Il fatto che il campo elettrico non sia uniforme mi crea sempre problemi.
Ho considerato \(\displaystyle F = ma \Rightarrow qE = ma \Rightarrow a = \frac{qE}{m} = 2500x\cdot 10^3 \)
Ma questo significa accelerazione non uniforme... avevo pensato di integrare... ma non dovrebbe essere poi in dt?
Secondo punto
La particella si muove in moto circolare quando entra nel campo magnetico la cui intensità è quindi \(\displaystyle B = \frac{mv}{qh} \).
Riguardo il verso di B: Presumo che, per la Forza di Lorentz, la particella si muoverà in senso orario (verso il basso) se B è uscente dal piano x-y e in senso antiorario (verso l'alto) se è entrante.
Figura:
Però il terzo punto dice "... quando intercetta l'asse delle x" quindi presumo che debba andare in senso orario (verso il basso) altrimenti non lo intercetta...
Grazie in anticipo!
Essa viene accelerata, a partire da una velocità iniziale nulla, da un campo elettrico \(\displaystyle E = 2500x\: V/m^2 \) presente nella sola regione 1 che va da \(\displaystyle x = 0 \) a \(\displaystyle x = L \) dove \(\displaystyle L = 2m \)
La particella entra quindi nella regione 2 dove è presente un campo magnetico B uniforme ortogonale al piano x-y
Calcolare:
1) La velocità della particella quando entra nella regione 2
2) Verso e intensità di B affinchè la particella si muova lungo una traiettoria circolare di raggio h
3) L'energia cinetica della particella quandro incontra l'asse delle x
Primo punto
Il fatto che il campo elettrico non sia uniforme mi crea sempre problemi.
Ho considerato \(\displaystyle F = ma \Rightarrow qE = ma \Rightarrow a = \frac{qE}{m} = 2500x\cdot 10^3 \)
Ma questo significa accelerazione non uniforme... avevo pensato di integrare... ma non dovrebbe essere poi in dt?
Secondo punto
La particella si muove in moto circolare quando entra nel campo magnetico la cui intensità è quindi \(\displaystyle B = \frac{mv}{qh} \).
Riguardo il verso di B: Presumo che, per la Forza di Lorentz, la particella si muoverà in senso orario (verso il basso) se B è uscente dal piano x-y e in senso antiorario (verso l'alto) se è entrante.
Figura:
Però il terzo punto dice "... quando intercetta l'asse delle x" quindi presumo che debba andare in senso orario (verso il basso) altrimenti non lo intercetta...
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao. Qualche osservazione:
1. il testo che riporti è incompleto, a parte l'uso un po' aleatorio delle unità di misura (carica e massa, un campo elettrico dato come $2500x" V/m"$ risulterebbe espresso in volt, visto che si suppone che $x$ sia in metri), non è dato quanto sia $L$, non è chiaro se il campo elettrico sia parallelo all'asse $x$ e se sia confinato nella sola regione $0<=x<=L$ (anche se il seguito del problema fa supporre in modo inevitabile che sia così, viceversa il moto in un campo magnetico uniforme ortogonale ad uno elettrico non sarebbe circolare, visto che il modulo della velocità continuerebbe ad aumentare);
2. se il campo ha l'andamento che hai scritto, nel punto $(0,h)$ è nullo; se la particella si trova inizialmente a riposo=ferma in tale posizione, ci rimane in equilibrio instabile ed il seguito del problema è privo di senso.
Se chiarisci, si può fare qualcosa.
1. il testo che riporti è incompleto, a parte l'uso un po' aleatorio delle unità di misura (carica e massa, un campo elettrico dato come $2500x" V/m"$ risulterebbe espresso in volt, visto che si suppone che $x$ sia in metri), non è dato quanto sia $L$, non è chiaro se il campo elettrico sia parallelo all'asse $x$ e se sia confinato nella sola regione $0<=x<=L$ (anche se il seguito del problema fa supporre in modo inevitabile che sia così, viceversa il moto in un campo magnetico uniforme ortogonale ad uno elettrico non sarebbe circolare, visto che il modulo della velocità continuerebbe ad aumentare);
2. se il campo ha l'andamento che hai scritto, nel punto $(0,h)$ è nullo; se la particella si trova inizialmente a riposo=ferma in tale posizione, ci rimane in equilibrio instabile ed il seguito del problema è privo di senso.
Se chiarisci, si può fare qualcosa.
"Palliit":
Ciao. Qualche osservazione
[...]
Se chiarisci, si può fare qualcosa.
Allora ho aggiornato la traccia originale includendo il valore di L che mi è sfuggito.
Per il resto:
1) Il campo elettrico si trova solamente nella regione 1 ( $0<=x<=L$ )
2) Su questo non so che dire: il problema dice che la particella "viene accelerata, a partire da una velocità iniziale nulla, da un campo elettrico..."... credo che dovremmo prenderla meno "alla lettera" e supporre che la particella parta già nella regione 1, tipo a x = 0.1... non saprei
Mah… se facciamo finta di non esserci accorti che la particella resta immobile in $x=0$ e di aver letto nel testo che il campo elettrico è orientato nella direzione dell'asse $x$, allora possiamo trovare la d.d.p. tra le due linee tratteggiate nel disegno:
quindi possiamo trovare il lavoro $q(V_1-V_2)$ compiuto sulla carica e poi porlo uguale alla variazione di energia cinetica, trovando la velocità in $x=L$.
Rimane il fatto che sull'asse $y$ il campo assegnato è nullo e quindi la carica puntiforme non si schioda dalla posizione in cui si trova ferma inizialmente.
Ed ho anche l'impressione (ma è solo un'impressione) che un campo elettrico strutturato in quel modo non possa esistere.
Da dove arriva l'esercizio?
$V_1-V_2=int_0^LEdx=2500" V/"m^2 int_0^Lxdx$ ,
quindi possiamo trovare il lavoro $q(V_1-V_2)$ compiuto sulla carica e poi porlo uguale alla variazione di energia cinetica, trovando la velocità in $x=L$.
Rimane il fatto che sull'asse $y$ il campo assegnato è nullo e quindi la carica puntiforme non si schioda dalla posizione in cui si trova ferma inizialmente.
Ed ho anche l'impressione (ma è solo un'impressione) che un campo elettrico strutturato in quel modo non possa esistere.
Da dove arriva l'esercizio?
"Palliit":
possiamo trovare la d.d.p. tra le due linee tratteggiate nel disegno:
$V_1-V_2=int_0^LEdx=2500" V/"m^2 int_0^Lxdx$ ,
quindi possiamo trovare il lavoro $q(V_1-V_2)$ compiuto sulla carica e poi porlo uguale alla variazione di energia cinetica, trovando la velocità in $x=L$.
Chiarissimo!
Ho solo un dubbio: perchè per la ddp hai considerato \(\displaystyle V_1 - V_2 \) e non \(\displaystyle V_2 - V_1 \) ?
Io ho fatto \(\displaystyle V_2 - V_1 \) e il lavoro mi viene negativo... in seguito, quando vado a porre la variazione di energia cinetica al lavoro, mi trovo inevitabilmente che la velocità finale è uguale alla radice di un valore negativo... mentre se avessi considerato, come te, \(\displaystyle V_1 - V_2 \) avrei avuto un valore positivo sotto radice...
\(\displaystyle
V_2 - V_1 = -E\int_{0}^{L}xdx \)
"Palliit":
Rimane il fatto che sull'asse $y$ il campo assegnato è nullo e quindi la carica puntiforme non si schioda dalla posizione in cui si trova ferma inizialmente.
Ed ho anche l'impressione (ma è solo un'impressione) che un campo elettrico strutturato in quel modo non possa esistere.
Da dove arriva l'esercizio?
E' una prova d'esame di un docente xD
.
Riguardo gli altri punti, cosa ne pensi?
"DeltaEpsilon":
perchè per la ddp hai considerato \( \displaystyle V_1 - V_2 \) e non \( \displaystyle V_2 - V_1 \) ?
Per la definizione: $vec(E)=-nablaV$, che in una dimensione equivale a: $E=-(dV)/(dr)$, per cui:
$V(r_1)-V(r_2)=-int_(r_2)^(r_1)E(r)dr=int_(r_1)^(r_2)E(r)dr$ .
Per il resto, sì, il campo magnetico dev'essere uscente. E per l'energia cinetica finale……… quanto lavoro compie il campo magnetico?
"Palliit":
Per la definizione: $vec(E)=-nablaV$, che in una dimensione equivale a: $E=-(dV)/(dr)$, per cui:
$V(r_1)-V(r_2)=-int_(r_2)^(r_1)E(r)dr=int_(r_1)^(r_2)E(r)dr$ .
Non fa una piega.
D'altronde anche io, se applico la definizione di ddp, ottengo lo stesso risultato:
\(\displaystyle V_2 - V_1 = -\int_{0}^{L}Edx \)
\(\displaystyle V_1 - V_2 = \int_{0}^{L}Edx \)
ma ciò che mi chiedevo io è perchè tu vuoi considerare \(\displaystyle V_1 - V_2 \) come ddp e non \(\displaystyle V_2 - V_1 \) ?
E' come se per calcolare la variazione di energia cinetica facessi \(\displaystyle \Delta K = K_1 - K_2 \) anziché \(\displaystyle K_2 - K_1 \)
senza valore assoluto, le due sono quantità diverse
"Palliit":
Per il resto, sì, il campo magnetico dev'essere uscente.
Ma da dove lo si deduce? Dal testo dell'esercizio che mi dice che la particella deve intercettare l'asse x?
L'espressione d.d.p. normalmente (che io sappia) non prevede un verso preciso di percorrenza come invece vale per il simbolo di variazione $Delta$. Se usi quest'ultimo, allora è:
Di fatto, trovi il lavoro compiuto dal campo elettrico come: $W_(A to B)=-q*DeltaV=q[V(A)-V(B)]$, per cui a parte il fatto di aver usato l'espressione d.d.p. direi che il segno è quello giusto.
Certo.
$DeltaV=V_2-V_1=-int_(P_1)^(P_2)vec(E)*dvec(r)$.
Di fatto, trovi il lavoro compiuto dal campo elettrico come: $W_(A to B)=-q*DeltaV=q[V(A)-V(B)]$, per cui a parte il fatto di aver usato l'espressione d.d.p. direi che il segno è quello giusto.
"DeltaEpsilon":
Ma da dove lo si deduce? Dal testo dell'esercizio che mi dice che la particella deve intercettare l'asse x?
Certo.
Chiaro!
Riguardo l'ultimo punto...
Siccome la particella, quando entra nella regione 2, inizia un moto circolare uniforme (velocità costante) l'energia cinetica, a sua volta, non dovrebbe costante per tutta la traiettoria circolare? (ALMENO per quanto riguarda la regione 2... perchè dal disegno intravedo che, a un certo punto, ritorna nella regione 1... ma questo non deve interessare ai fini dell'esercizio).
Se il mio ragionamento fosse corretto (mi correggerai tu in caso contrario) basterebbe semplicemente applicare la formula dell'energia cinetica dove la velocità è esattamente la velocità con la quale la particella è entrata nella regione 2 (ricavata quindi dal punto 1)
Riguardo l'ultimo punto...
"Palliit":
E per l'energia cinetica finale……… quanto lavoro compie il campo magnetico?
Siccome la particella, quando entra nella regione 2, inizia un moto circolare uniforme (velocità costante) l'energia cinetica, a sua volta, non dovrebbe costante per tutta la traiettoria circolare? (ALMENO per quanto riguarda la regione 2... perchè dal disegno intravedo che, a un certo punto, ritorna nella regione 1... ma questo non deve interessare ai fini dell'esercizio).
Se il mio ragionamento fosse corretto (mi correggerai tu in caso contrario) basterebbe semplicemente applicare la formula dell'energia cinetica dove la velocità è esattamente la velocità con la quale la particella è entrata nella regione 2 (ricavata quindi dal punto 1)
È corretto. Ma rimane il fatto che la carica non si muove dal punto iniziale e quindi tutto l'esercizio è una burla.
"Palliit":
È corretto. Ma rimane il fatto che la carica non si muove dal punto iniziale e quindi tutto l'esercizio è una burla.
hahaha
vabbè l'importante è fare quel che si può 
Grazie mille!
Prego!
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