Particella e anello
Una particella di massa m=1g e carica q=-0.1nC è posta al centro di un anello di raggio R=10 cm su cui è distribuita uniformemente una carica di Q=10 nC. La particella viene spostata di un tratto x0=5 cm lungo l'asse ortogonale al piano della circonferenza e quindi rilasciata.
Determinare l'espressione del campo in funzione di x.
Dimostrare che per x>>R il campo equivale a quello di una carica puntiforme concentrata nell'origine.
Dimostrar che per piccole distanze dall'origine la particella oscilla di moto armonico.
In quali condizioni è massima l'energia potenziale del sistema e quanto vale?
Le prime tre domande sono ok ma sto avendo dei problemi con il calcolo dell'energia potenziale:
So che questa è massima quando mi trovo al centro dell'anello e che è nulla quando va all'infinito... quindi basta che pongo x =0 in
U=qQ/((4*pi*e0)*(R^2+x^2))? Cosi facendo non viene il risultato.. chi mi sa dare una mano?
Il risultato dovrebbe essere U=1,8*10^(-9)
Determinare l'espressione del campo in funzione di x.
Dimostrare che per x>>R il campo equivale a quello di una carica puntiforme concentrata nell'origine.
Dimostrar che per piccole distanze dall'origine la particella oscilla di moto armonico.
In quali condizioni è massima l'energia potenziale del sistema e quanto vale?
Le prime tre domande sono ok ma sto avendo dei problemi con il calcolo dell'energia potenziale:
So che questa è massima quando mi trovo al centro dell'anello e che è nulla quando va all'infinito... quindi basta che pongo x =0 in
U=qQ/((4*pi*e0)*(R^2+x^2))? Cosi facendo non viene il risultato.. chi mi sa dare una mano?
Il risultato dovrebbe essere U=1,8*10^(-9)
Risposte
Se la particella ha una carica negativa e l'anello positiva, la particella è attratta verso il centro dell'anello, e il centro risulta quindi un minimo di potenziale, non un massimo ( sarebbe strana una oscillazione intorno ad un massimo).
L'energia potenziale massima si dovrebbe avere quando la particella si trova all'infinito.
Se conosci il campo sull'asse dell'anello per ogni x, si tratta di integrare il lavoro compiuto dal campo nel portare la particella dall'infinito al centro dell'anello.
P.S.
Che ce ne facciamo della massa della particella?
Immagino che quando di parla del campo in funzione di x, si parli del campo dovuto alle cariche sull'anello
L'energia potenziale massima si dovrebbe avere quando la particella si trova all'infinito.
Se conosci il campo sull'asse dell'anello per ogni x, si tratta di integrare il lavoro compiuto dal campo nel portare la particella dall'infinito al centro dell'anello.
P.S.
Che ce ne facciamo della massa della particella?
Immagino che quando di parla del campo in funzione di x, si parli del campo dovuto alle cariche sull'anello
Giusto che sbadata 
La massa della particella serve per verificare che il moto è armonico vicino al centro dell'anello...
A partire dall'espressione del potenziale, ricavo che $ E(x)=(Qx)/(4pie0*(R^2+x^2)^(3/2)) $
Quindi siccome il massimo sarà quando la particella si trova all'infinito uso l'approssimazione x>>>R e integro l'espressione moltiplicata per q tra 0 e infinito?
La massa della particella serve per verificare che il moto è armonico vicino al centro dell'anello...
A partire dall'espressione del potenziale, ricavo che $ E(x)=(Qx)/(4pie0*(R^2+x^2)^(3/2)) $
Quindi siccome il massimo sarà quando la particella si trova all'infinito uso l'approssimazione x>>>R e integro l'espressione moltiplicata per q tra 0 e infinito?
Direi di sì. Ma in che senso usi una approssimazione? All'infinito x sarà anche >>>> R, ma poi al centro ci deve pur arrivare, quindi non sarà più così. Il limite inferiore dell'integrale non è zero?
Poi: per vedere che il moto è armonico, non basta verificare che la forza, per x piccolo, è proporzionale allo spostamento? Cosa serve la massa?
Poi: per vedere che il moto è armonico, non basta verificare che la forza, per x piccolo, è proporzionale allo spostamento? Cosa serve la massa?
Perchè chiedeva di determinare il periodo delle oscillazioni (me lo sono dimenticata nel testo dell'esercizio).
Ho appena provato a svolgere l'integrale dell'espressione di E (senza approssimazioni) e questo mi risulta
-(qQ/4pi e0)*(R^2+x^2)^(-1/2) valutato tra infinito e 0.. per x che tende all'infinito va a 0 mentre per x che va a 0 non viene il risutato corretto
Ho appena provato a svolgere l'integrale dell'espressione di E (senza approssimazioni) e questo mi risulta
-(qQ/4pi e0)*(R^2+x^2)^(-1/2) valutato tra infinito e 0.. per x che tende all'infinito va a 0 mentre per x che va a 0 non viene il risutato corretto
Devo dire che il calcolo mi pare giusto....
C'è una cosa che non capisco: dici
Avrei detto che avessi ricavato direttamente E(x), invece hai trovato il potenziale prima? E come hai fatto?
In ogni caso l'espressione di E(x) mi pare corretta...
Quanto ti viene l'integrale fra zero e infinito?
C'è una cosa che non capisco: dici
"Planets":
A partire dall'espressione del potenziale, ricavo che $ E(x)=(Qx)/(4pie0*(R^2+x^2)^(3/2)) $
Avrei detto che avessi ricavato direttamente E(x), invece hai trovato il potenziale prima? E come hai fatto?
In ogni caso l'espressione di E(x) mi pare corretta...
Quanto ti viene l'integrale fra zero e infinito?
Ho ricavato E a partire dal potenziale (siccome sappiano che E=-gradV) ma potevo benissimo calcolarlo direttamente non cambia nulla...
Ti ho gia scritto quel che viene dall'integrale, quando pongo x=infinito viene 0 mentre quando pongo x=0 viene (qQ/4pie0R) che da
-8,9*10^(-8)
Ti ho gia scritto quel che viene dall'integrale, quando pongo x=infinito viene 0 mentre quando pongo x=0 viene (qQ/4pie0R) che da
-8,9*10^(-8)
Forse ho capito dove sta l'inghippo. il problema dice:
Direi allora che, per "sistema", non si intende l'insieme anello-particella, ma l'oscillatore in cui la particella si allontana al massimo di 5 cm dal centro.
Quindi per "energia potenziale del sistema" (massima) non si intende quella con la particella all'infinito, ma quando la particella si trova a 5 cm dal centro.
L'integrale (indefinito) quindi va bene, ma quello definito non va calcolato fra 0 e infinito, ma fra 0 e 5 cm
"Planets":
La particella viene spostata di un tratto x0=5 cm lungo l'asse ortogonale al piano della circonferenza e quindi rilasciata.
In quali condizioni è massima l'energia potenziale del sistema e quanto vale?
Direi allora che, per "sistema", non si intende l'insieme anello-particella, ma l'oscillatore in cui la particella si allontana al massimo di 5 cm dal centro.
Quindi per "energia potenziale del sistema" (massima) non si intende quella con la particella all'infinito, ma quando la particella si trova a 5 cm dal centro.
L'integrale (indefinito) quindi va bene, ma quello definito non va calcolato fra 0 e infinito, ma fra 0 e 5 cm
Pardon altro errore di testo, x0=2cm... Anche io ci stavo pensando, così facendo pero viene U=-1*10^-9 che non è esattissimo ma ci siamo piu vicini..
Fai i conti con più decimali... direi che viene abbastanza giusto. A me è venuto $2 * 10 ^-9$
A parte questo, continuo a non capire come hai trovato il potenziale...
A parte questo, continuo a non capire come hai trovato il potenziale...
So che V=Q/(4pi*e0*(R^2+x^2)^(1/2)) e che E=-gradV.
Ora, le componenti del campo rispetto ad y e z si annullano quindi le rispettive derivate sono pari a 0 e rimane solamente la componente rispetto ad x quindi E=E (x)=d/dx V.
Ora provo di nuovo a calcolarlo, è possibile che la mia calcolatrice limiti le cifre decimali? Inoltre mi vien negativo..
Grazie mille per l'aiuto
)
Ora, le componenti del campo rispetto ad y e z si annullano quindi le rispettive derivate sono pari a 0 e rimane solamente la componente rispetto ad x quindi E=E (x)=d/dx V.
Ora provo di nuovo a calcolarlo, è possibile che la mia calcolatrice limiti le cifre decimali? Inoltre mi vien negativo..
Grazie mille per l'aiuto
)
La tua espressione per il potenziale mi pare un po' sospetta .... in pratica tu dici che il potenziale è proporzionale a $\frac[1}{\sqrt{R^2 + x^2}}$, ora questo vale per una carica puntiforme, ma questo non è il tuo caso.
E' come se tu assumessi tutta la carica dell'anello concentrata in un solo punto dell'anello, poi, siccome il gradiente di questo potenziale ti dà delle componenti y e z indesiderate, le elimini con considerazioni di simmetria.
Il risultato è quello giusto, ma mi pare un po' troppo disinvolto.
Mi sembra più semplice trovare direttamente il campo, sommando i contributi di ogni pezzetto dell'anello, qui sì che puoi dire che le componenti y e z spariscono, per simmetria, nella somma, e restano solo le x.
Quanto al risultato numerico, io ho trovato $ 2 * 10^-9$ usando non più di 3 cifre significative.
Negativo? L'energia potenziale è il valore del potenziale nel punto x = 2 cm meno quello nel punto x = 0, vero che sono entrambi negativi, ma il primo è maggiore del secondo ( x = 0 è un minimo)
E' come se tu assumessi tutta la carica dell'anello concentrata in un solo punto dell'anello, poi, siccome il gradiente di questo potenziale ti dà delle componenti y e z indesiderate, le elimini con considerazioni di simmetria.
Il risultato è quello giusto, ma mi pare un po' troppo disinvolto.
Mi sembra più semplice trovare direttamente il campo, sommando i contributi di ogni pezzetto dell'anello, qui sì che puoi dire che le componenti y e z spariscono, per simmetria, nella somma, e restano solo le x.
Quanto al risultato numerico, io ho trovato $ 2 * 10^-9$ usando non più di 3 cifre significative.
Negativo? L'energia potenziale è il valore del potenziale nel punto x = 2 cm meno quello nel punto x = 0, vero che sono entrambi negativi, ma il primo è maggiore del secondo ( x = 0 è un minimo)
A lezione lo abbiamo fatto, magari era solo una verifica dell'espressione del campo di un anello come gradiente del potenziale comunque grazie per la precisazione.
Hai ragione però l'integrale indefinito viene con il meno quindi cambia segno
Hai ragione però l'integrale indefinito viene con il meno quindi cambia segno
Chiedo venia, sul potenziale hai ragione tu. Sull'asse è così, tutti i punti dell'anello hanno la stessa distanza, e poi principio di sovrapposizione. Sorry.
Per il segno dell'integrale, dipende se lo calcoli da 0 a 2 o da 2 a 0
Per il segno dell'integrale, dipende se lo calcoli da 0 a 2 o da 2 a 0
Ciò è dovuto al fatto che l'integrale in realtà è pari a U (a)-U (b) e non il contrario? Quindi da 2 a 0
Comunque mi fido dei tuoi calcoli perché la mia calcolatrice non fa altro che farmi 1*10^-9 pur mettendo tutti i decimali
Comunque mi fido dei tuoi calcoli perché la mia calcolatrice non fa altro che farmi 1*10^-9 pur mettendo tutti i decimali
Questa faccenda dei decimali è curiosa.
Riporto i calcoli.
Assumo $4\pi\varepsilon = 1.11*10^-10$
Potenziale in x = 0
$\frac{-qQ}{4\pi\varepsilon\sqrt{R^2+x^2}}$ = $\frac{-0.1*10^-9 * 10*10^-9}{1.11*10^-10 * 10^-1}$ = $-9*10^-8$
Potenziale in x = 2 cm
$\frac{-qQ}{4\pi\varepsilon\sqrt{R^2+x^2}}$ = $\frac{-0.1*10^-9 * 10*10^-9}{1.11*10^-10 * \sqrt{10^-2 + 4*10^-4}}$ = $\frac{-0.1*10^-9 * 10*10^-9}{1.11*10^-10 * 1.02*100^-1} $ = $-8.83*10^-8$
$U(2) - U(0) = +1.7 * 10^-9$
Prendo l'energia potenziale nel senso del lavoro compiuto per andare dal punto 2 al punto 0, e quindi U(2) - U(0)
Riporto i calcoli.
Assumo $4\pi\varepsilon = 1.11*10^-10$
Potenziale in x = 0
$\frac{-qQ}{4\pi\varepsilon\sqrt{R^2+x^2}}$ = $\frac{-0.1*10^-9 * 10*10^-9}{1.11*10^-10 * 10^-1}$ = $-9*10^-8$
Potenziale in x = 2 cm
$\frac{-qQ}{4\pi\varepsilon\sqrt{R^2+x^2}}$ = $\frac{-0.1*10^-9 * 10*10^-9}{1.11*10^-10 * \sqrt{10^-2 + 4*10^-4}}$ = $\frac{-0.1*10^-9 * 10*10^-9}{1.11*10^-10 * 1.02*100^-1} $ = $-8.83*10^-8$
$U(2) - U(0) = +1.7 * 10^-9$
Prendo l'energia potenziale nel senso del lavoro compiuto per andare dal punto 2 al punto 0, e quindi U(2) - U(0)
Grazie mille questa volta è colpa della calcolatrice, sarà perché sta passando un brutto periodo 
grazie ancora
grazie ancora
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