Particella che scivola su un'emisfera libera di muoversi

[Pdirac]

Considerando la seguente situazione:
Una particella di massa m è posta in cima ad una emisfera di raggio R e massa M. La particella può scivolare senza attrito lungo la superficie della emisfera, e l’emisfera può scivolare senza attrito lungo il piano sul quale è posata. Assumiamo ora che la particella di massa m venga messa in moto verso destra con velocità iniziale trascurabile. Per quale angolo q essa si stacca dalla emisfera?

Dato che l'emisfera è libera di muoversi senza attrito sul piano orizzontale, ne segue che la reazione vincolare di essa ha componente orizzontale nulla. Quindi la particella si muove solo verticalmente con l'emisfera che gli scivola sotto... giusto? A questo punto però mi blocco: se la pallina si muove solo verticalmente e l'emisfera si muove orizzontalmente, e per il terzo principio della dinamica se su un corpo agisce una forza deve esserci un'altro corpo che subisce una forza eguale e contraria, su cosa è applicata questa reazione? Ne segue che non è possibile che si muova solo la sfera orizzontalmente, quindi devono avere una componente orizzontale del moto tanto l'emisfera che la particella. Ma se anche la pallina ha una componente orizzontale del moto questa componente deve essergli fornita da un reazione vincolare dell'emisfera, che però non facendo attrito col piano di appoggio non dovrebbe potergliela fornire.... dov'è l'errore?

[Pdirac]

Ho provato a scomporre il vettore forza peso nelle sue componenti tangenziali e normali alla superficie dell'emisfera in un punto P. Ottengo come in un classico piano inclinato che:
$F_T = mg*sinalpha, F_N = mg*cosalpha $
Se ora considero che dei vettori così ottenuti, la componente verticale della forza tangente non è vincolata, mentre la componente verticale della forza normale sì, ho che in funzione dell'angolo la forza verticale risultante sulla pallina è:
$F_y = -mgsin^(2)alpha$
Mentre riguardo le componenti orizzontali, considerando il terzo principio della dinamica, ho che la forza che agisce sulla pallina (componente orizzontale della componente tangenziale della forza peso) deve essere uguale e contraria alla forza che subisce l'emisfera... d'altra parte avendo masse diverse i due corpi non subiscono una stessa accelerazione. Se mi pongo in un sistema solidale a quello dell'emisfera, ottengo che l'accelerazione che si vede impressa alla particella è: $a_r = a_p + a_e$ con $a_p$ l'accelerazione della particella in un sistema assoluto ed $a_e$ quella dell'emisfera. Sapendo che la forza agente è $F_x=mgcosalphasinalpha$, ho che $a_r = (mgcosalphasinalpha)/m + (mgcosalphasinalpha)/M$ e quindi le accelerazioni che si vedono impresse alla particella in funzione dell'angolo formato dalla tangente nel punto in cui la particella stessa si trova e il piano orizzontale sono:
$a_y = -gsin^(2)alpha, a_x = gcosalphasinalpha(1+m/M)$
Considerando che la pallina si stacca dalla superficie quando l'angolo formato dall'accelerazione risultante è maggiore dell'angolo della tangente alla traiettoria nel punto ottengo:
$arctg(a_y/a_x) = alpha$ che dovrebbe essere il punto in cui la pallina si stacca.

E' corretto come ragionamento? Non riesco a trovare errori in esso, eppure non riesco neppure a togliermi la sensazione che ci sia qualcosa di strano...
Con questo ragionamento non ho considerato affato la forza centripeta.... eppure intuitivamente sembra essere un fattore rilevante... è perché l'ho "implicitamente" inclusa nei calcoli?
grazie anticipatamente per l'attenzione

[shicurum]

Io ho utilizzato un ragionamento quasi uguale ma meno complicato e sono pervenuto al fatto che l'angolo è uguale a:
$Q= arctan (P/F)$
dove P è la forza peso ed F è la forza orizzontale costante impressa alla particella per farla muovere. Se ti interessa posso spiegarti il procedimento.