Particella carica in movimento. Esercizio.
Una particella di massa m e carica $q$ si muove a grande velocità lungo l'asse $x$ da $x= -oo$ a $x=+oo$. Una seconda carica $Q$ si trova in quiete nel punto di coordinate $x=0$ , $y=-d$. Al passaggio della carica in moto, la carica ferma acquista una piccola velocità nella direzione $y$, mentre lungo $x$ rimane in quiete.
Si determini l'angolo di deflessione della carica in movimento.
Suggerimento:
L'integrale che si incontra nel determinare $v_y$ può essere calcolato usando la legge di Gauss applicata ad un lungo cilindro di raggio $d$, centrato sulla carica.
Risultato.
$theta = tan^(-1) [(qQ)/(2pi epsilon_0 dmv^2)]$
Voglio risolverlo, ma non riesco a capire cosa sia questo angolo di deflessione????
Ho trovato come significato il seguente:
In fisica, in uno strumento di misura, lo spostamento, angolare o lineare, dell’equipaggio mobile o dell’indice a questo connesso dalla sua condizione di riposo.
Ma io sinceramente non riesco ad immaginare bene cosa sia e poi non riesco a calcolarlo in quanto il mio testo non mi fornisce queste informazioni in merito???!?!?!
E poi non riesco a capire quale sia questo integrale sulla velocità????
Il capitolo in merito non mi dice nulla! Come di deve calcolare questa velocità usando la legge di Gauss??????
HELPPPPP!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Si determini l'angolo di deflessione della carica in movimento.
Suggerimento:
L'integrale che si incontra nel determinare $v_y$ può essere calcolato usando la legge di Gauss applicata ad un lungo cilindro di raggio $d$, centrato sulla carica.
Risultato.
$theta = tan^(-1) [(qQ)/(2pi epsilon_0 dmv^2)]$
Voglio risolverlo, ma non riesco a capire cosa sia questo angolo di deflessione????
Ho trovato come significato il seguente:
In fisica, in uno strumento di misura, lo spostamento, angolare o lineare, dell’equipaggio mobile o dell’indice a questo connesso dalla sua condizione di riposo.
Ma io sinceramente non riesco ad immaginare bene cosa sia e poi non riesco a calcolarlo in quanto il mio testo non mi fornisce queste informazioni in merito???!?!?!
E poi non riesco a capire quale sia questo integrale sulla velocità????
Il capitolo in merito non mi dice nulla! Come di deve calcolare questa velocità usando la legge di Gauss??????
HELPPPPP!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Risposte
Accidenti , amici, vorrei proprio capirlo questo esercizio e sinceramente non l'ho sto capendo!!!!
Helppppp!!!!!
Helppppp!!!!!
Puoi controllare il testo? L'originale è diverso da quello che hai scritto tu.
Ecco la versione in italiano che ho sul mio testo:
Ma dov'è la differenza???
Ma dov'è la differenza???
E' la carica in moto che acquista una piccola velocità $v_y$ nella direzione $y$, non quella ferma. E quindi deflette.
C'e' un errore di traduzione nel testo italiano.
A me risulta una radice quadrata nella risposta.
Il testo americano che dice?
A me risulta una radice quadrata nella risposta.
Il testo americano che dice?
"professorkappa":
...
Il testo americano che dice?
$tan^-1 [(qQ)/(2 pi epsilon_0 dmv^ 2 )]$
Ma allora il risultato e' lo stesso!
Penso che il traduttore e che poi ha scritto il testo in modo errato, merita:
Allora, io sono arrivato a una soluzione, che e' quella del testo. Miracolosamente mi e' sparita la radice quadrata, non so come, perche non trovo piu' gli appunti fatti prima.
Io ho proceduto cosi:
La forza agente sulla carica q per via della carica Q, piazzata nell'origine degli assi, e'
[size=150]\( F=\frac{k_eQq}{r^2} \) .[/size]
La sua componente lungo y e' [size=150]\( F_y=\frac{k_eQq}{r^2}\cdot sin\theta \) [/size]
dove [size=150]$\theta$[/size] e' langolo che il raggio vettore forma con l'asse x.
Per comodita', il prodotto [size=150]\( k_eQq \)[/size] lo chiamo A, quindi la formula diventa
[size=150] \( F=\frac{A}{r^2}\cdot sin\theta \) [/size]
Ora noi sappiamo che [size=150]\( F_y=ma_y=m\frac{dv_y}{dt} \) [/size]
Quindi, integrando:
[size=150] \( v_y=\int_{t_0}^{t} \frac{A}{m\cdot r^2}\cdot sin\theta \ dt \) [/size]
Ora qui viene la parte piu' difficoltosa dell'esercizio, cioe' scivere $r$ e $\theta$ in funzione di $t$ per poi potere integrare.
Intanto si puo scrivere
[size=150](1) \( r^2={x^2+d^2} \)
(2) \( sin\theta=\frac{d}{r}=\frac{d}{\sqrt{x^2+d^2}} \)
(3) \( x=v_xt \) [/size]
Sostituendo (1), (2) e (3) nell'integrale:
[size=150]\( v_y=\frac{A}{m}\int_{t_0}^{t}\frac{d}{(v^2t^2+d^2)^{3/2}} \ dt=\frac{dA}{mv_x^3}\int_{t_0}^{t}\frac{dt}{(t^2+\alpha^2)^{3/2}} \).[/size]
Dopo essere ammattito sull'integrale, me lo sono cercato su un libro (forse c'e' il modo di risolverlo facilmente usano le sistituzione trigonometriche, ma confesso che non mi e' venuto fuori, sono un po' arrugginito) e ho trovate che quell'integrale vale
[size=150]\( \int_{t_0}^{t}\frac{dt}{(t^2+\alpha^2)^{3/2}} = \frac{1}{\alpha^2}\cdot\frac{t}{\sqrt{t^2+\alpha^2}} \) [/size]
Che integrato tra [size=150]$t=-oo$[/size] e [size=150]$t=+oo$[/size] da' come risultato: [size=150]$ 2/\alpha^2$[/size]
Quindi
[size=150] \( v_y=\frac{dA}{mv_x^3}\cdot\frac{2}{\alpha^2} \)[/size]
Cambiando A e [size=150]$\alpha$[/size] e ricordando che [size=150]\( k_e=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \)[/size] si ottiene:
[size=150] \( v_y=\frac{dA}{mv_x^3}\cdot\frac{2}{\alpha^2} = \frac{dk_eQq}{mv_x^3}\cdot\frac{2v_x^2}{d^2}=\frac{k_eQq}{mv_x}\cdot\frac{2}{d}=\frac{Qq}{2d\pi \epsilon_0 mv_x} \)[/size]
L'angolo di deflessione e' per definizione [size=150]$tan \phi=v_y/v_x$[/size] da cui
[size=150] \( tan\phi=\frac{Qq}{2d\pi \epsilon_0 mv_x^2} \)[/size]
Una bella sfacchinata, non c'e' che dire.
Io ho proceduto cosi:
La forza agente sulla carica q per via della carica Q, piazzata nell'origine degli assi, e'
[size=150]\( F=\frac{k_eQq}{r^2} \) .[/size]
La sua componente lungo y e' [size=150]\( F_y=\frac{k_eQq}{r^2}\cdot sin\theta \) [/size]
dove [size=150]$\theta$[/size] e' langolo che il raggio vettore forma con l'asse x.
Per comodita', il prodotto [size=150]\( k_eQq \)[/size] lo chiamo A, quindi la formula diventa
[size=150] \( F=\frac{A}{r^2}\cdot sin\theta \) [/size]
Ora noi sappiamo che [size=150]\( F_y=ma_y=m\frac{dv_y}{dt} \) [/size]
Quindi, integrando:
[size=150] \( v_y=\int_{t_0}^{t} \frac{A}{m\cdot r^2}\cdot sin\theta \ dt \) [/size]
Ora qui viene la parte piu' difficoltosa dell'esercizio, cioe' scivere $r$ e $\theta$ in funzione di $t$ per poi potere integrare.
Intanto si puo scrivere
[size=150](1) \( r^2={x^2+d^2} \)
(2) \( sin\theta=\frac{d}{r}=\frac{d}{\sqrt{x^2+d^2}} \)
(3) \( x=v_xt \) [/size]
Sostituendo (1), (2) e (3) nell'integrale:
[size=150]\( v_y=\frac{A}{m}\int_{t_0}^{t}\frac{d}{(v^2t^2+d^2)^{3/2}} \ dt=\frac{dA}{mv_x^3}\int_{t_0}^{t}\frac{dt}{(t^2+\alpha^2)^{3/2}} \).[/size]
Dopo essere ammattito sull'integrale, me lo sono cercato su un libro (forse c'e' il modo di risolverlo facilmente usano le sistituzione trigonometriche, ma confesso che non mi e' venuto fuori, sono un po' arrugginito) e ho trovate che quell'integrale vale
[size=150]\( \int_{t_0}^{t}\frac{dt}{(t^2+\alpha^2)^{3/2}} = \frac{1}{\alpha^2}\cdot\frac{t}{\sqrt{t^2+\alpha^2}} \) [/size]
Che integrato tra [size=150]$t=-oo$[/size] e [size=150]$t=+oo$[/size] da' come risultato: [size=150]$ 2/\alpha^2$[/size]
Quindi
[size=150] \( v_y=\frac{dA}{mv_x^3}\cdot\frac{2}{\alpha^2} \)[/size]
Cambiando A e [size=150]$\alpha$[/size] e ricordando che [size=150]\( k_e=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \)[/size] si ottiene:
[size=150] \( v_y=\frac{dA}{mv_x^3}\cdot\frac{2}{\alpha^2} = \frac{dk_eQq}{mv_x^3}\cdot\frac{2v_x^2}{d^2}=\frac{k_eQq}{mv_x}\cdot\frac{2}{d}=\frac{Qq}{2d\pi \epsilon_0 mv_x} \)[/size]
L'angolo di deflessione e' per definizione [size=150]$tan \phi=v_y/v_x$[/size] da cui
[size=150] \( tan\phi=\frac{Qq}{2d\pi \epsilon_0 mv_x^2} \)[/size]
Una bella sfacchinata, non c'e' che dire.
Professorkappa, hai dedicato molto tempo per questo esercizio e personalmente voglio ringraziarti per tutto l'insegnamento, penso che molti altri ti ringrazieranno anche perche' sei stato chiarissimo! 
Grazie mille!
Grazie mille!
Bah, mai ci avrei pensato.
Ma se hai la soluzione, che ci fai dannare a fare
Ma se hai la soluzione, che ci fai dannare a fare
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