Parete piana con generazione di calore?
Una lastra piana di metallo (λ = 0,8 W/mK) di spessore 35 cm ha le due facce limite rispettivamente alla temperatura di 40°C e di 20°C. Calcolare il flusso di calore (potenza per unità di area), in regime stazionario. Nell'ipotesi che all'interno dello strato sia presente una sorgente di calore distribuita che produca 100W/m^3, trovare i flussi di calore sulle due facce limite
Io ho travato questi due risultati , cosa mi dite ? Sono giusti ?
q1=[(λ/s)*(T1-T2)] - W*s/2 = 28,2 W
q2=[(λ/s)*(T1-T2)]+W*s/2 = 63,2 W
Io ho travato questi due risultati , cosa mi dite ? Sono giusti ?
q1=[(λ/s)*(T1-T2)] - W*s/2 = 28,2 W
q2=[(λ/s)*(T1-T2)]+W*s/2 = 63,2 W
Risposte
"ERiK":
Una lastra piana di metallo (λ = 0,8 W/mK) di spessore 35 cm ha le due facce limite rispettivamente alla temperatura di 40°C e di 20°C. Calcolare il flusso di calore (potenza per unità di area), in regime stazionario. Nell'ipotesi che all'interno dello strato sia presente una sorgente di calore distribuita che produca 100W/m^3, trovare i flussi di calore sulle due facce limite
Io ho travato questi due risultati , cosa mi dite ? Sono giusti ?
q1=[(λ/s)*(T1-T2)] - W*s/2 = 28,2 W
q2=[(λ/s)*(T1-T2)]+W*s/2 = 63,2 W
A occhio e croce mi sembra di no.
La generazione di calore interna fa sì che l'andamento della temperatura da un lato all'altro della parete non sia più lineare, ma parabolico.
Devi scrivere l'equazione di trasmissione del calore monodimensionale con generazione interna di calore e risolvere con le condizioni al contorno date dalle due temperature.
I gradienti di temperatura a parete ti servono poi per ricavare i flussi sulle due facce.
"ERiK":
Una lastra piana di metallo (λ = 0,8 W/mK) di spessore 35 cm ha le due facce limite rispettivamente alla temperatura di 40°C e di 20°C. Calcolare il flusso di calore (potenza per unità di area), in regime stazionario. Nell'ipotesi che all'interno dello strato sia presente una sorgente di calore distribuita che produca 100W/m^3, trovare i flussi di calore sulle due facce limite
Io ho travato questi due risultati , cosa mi dite ? Sono giusti ?
q1=[(λ/s)*(T1-T2)] - W*s/2 = 28,2 W
q2=[(λ/s)*(T1-T2)]+W*s/2 = 63,2 W
non ho voglia di fare tutti i conti, ma vedo che il bilancio energetico torna, quindi è molto probabile che il risultato che hai trovato sia corretto.
I conti mi tornano (dopo un po' di errori), ma comunque occhio che l'andamento della temperatura nel caso di generazione interna di calore non è lineare.
Quindi ? ? Non ho capito, secondo voi sono giusti ?
Scusatemi ma tra un po' ho l'esame è sono nel panico.... Posso farvi alttre domande ?
1) come si trova la posizione del massimo delle temperature ? ---> [ W(s)^2] / 8λ ? non può essere giusto secondo me...mi torna 1,91 m^2K
2) se la lastra viene immersa in un ambiente con aria a 18°C (h=6W/m^2K). determinare le temperature delle facce limite, la temperatura massima e la posizione nella quale si registra ? ---->per questo non ho proprio idee.....non ci ho ragionato su troppo, cmq ora mi ci metto e provo a tirar fuori qualcosa....
3) e se le facce limete sono rivestite da un materiale isolante (λ=0,05W/m^2K) di spessore 2cm ? ---> anche qui devo ancora provarci....cmq appena tiro fuori qualcosa la posto
GRAZIE A TUTTI SIETE DEI GRANDI, MI AVETE RIDATO UN PO' DI TRANQUILLITA' E SICUREZZA
GRAZIE ANCORA
Scusatemi ma tra un po' ho l'esame è sono nel panico.... Posso farvi alttre domande ?
1) come si trova la posizione del massimo delle temperature ? ---> [ W(s)^2] / 8λ ? non può essere giusto secondo me...mi torna 1,91 m^2K
2) se la lastra viene immersa in un ambiente con aria a 18°C (h=6W/m^2K). determinare le temperature delle facce limite, la temperatura massima e la posizione nella quale si registra ? ---->per questo non ho proprio idee.....non ci ho ragionato su troppo, cmq ora mi ci metto e provo a tirar fuori qualcosa....
3) e se le facce limete sono rivestite da un materiale isolante (λ=0,05W/m^2K) di spessore 2cm ? ---> anche qui devo ancora provarci....cmq appena tiro fuori qualcosa la posto
GRAZIE A TUTTI SIETE DEI GRANDI, MI AVETE RIDATO UN PO' DI TRANQUILLITA' E SICUREZZA
GRAZIE ANCORA
I risultati numerici sono giusti, ma non ho capito se sei arrivato a quelle formule consapevolmente o a no.
Adesso non ho tempo magari più tardi scrivo qualche altro dettaglio in merito.
Adesso non ho tempo magari più tardi scrivo qualche altro dettaglio in merito.
Beh credo di esserci arrivato consapevolmente.....
nella prima faccia limite, abbiamo un flusso entrante, dato dalla differenza di temperatura, e uno uscente, dato dalla fonte interna , il flusso "totale" è entrante perchè (λ/s)(T1-T2) è maggire del flusso interno (Ws)/2 e l'espressione del flusso "totale" è dato dalla soma algebrica del contributo dato dalla differenza di temperatura e dalla fonte interna, quindi
q1= (λ/s)(DT) - (Ws)/2.
Mentre per la seconda faccia limite i flussi si sommano, in quanto sono entrambi uscenti quindi q2= (λ/s)(DT) + (Ws)/2.
Scusate ma dimensionalmente dovrei avere come risultato W/m^2
GIUSTO ?
nella prima faccia limite, abbiamo un flusso entrante, dato dalla differenza di temperatura, e uno uscente, dato dalla fonte interna , il flusso "totale" è entrante perchè (λ/s)(T1-T2) è maggire del flusso interno (Ws)/2 e l'espressione del flusso "totale" è dato dalla soma algebrica del contributo dato dalla differenza di temperatura e dalla fonte interna, quindi
q1= (λ/s)(DT) - (Ws)/2.
Mentre per la seconda faccia limite i flussi si sommano, in quanto sono entrambi uscenti quindi q2= (λ/s)(DT) + (Ws)/2.
Scusate ma dimensionalmente dovrei avere come risultato W/m^2
GIUSTO ?
Il tuo è un ragionamento adatto a questo caso particolare di parete piana e di generazione uniforme: in pratica sovrapponi la condizione di parete piana con due temperature diverse sulle facce e ci aggiungi il calore prodotto ripartendolo tra le due pareti.
Io comunque preferisco a questo approccio intuitivo quello più generale che ti dà anche la spiegazione del perchè puoi procedere in quel modo.
L'equazione di conduzione monodimensionale è:
$-\lambda (d^2T)/dx^2=W$ ($W$ potenza termica volumica prodotta dalla parete).
Risolvi poi con le condizioni al contorno:
$T(0)=20$
e
$T(0.35)=40$
In questo modi trovi l'andamento della temperatura in funzione della posizione. A questo punto i due flussi sono $-lambda (dT)/(dx)(0)$ e $-lambda (dT)/(dx)(0.35)$
Il risultato dimensionale e in $W/m^2$
Nel caso di parete immersa in ambiente a temperatura data di cui conosci il coefficiente di scambio convettivo $h$ cambiano solo le condizioni al contorno: in questo caso devi imporre che il calore che esce, oche entra, da ciascuna parete sia uguale a quello che va o che viene preso in aria, non ti scrivo le formule, credo riuscirai ad arrivarci facilmente da te.
Io comunque preferisco a questo approccio intuitivo quello più generale che ti dà anche la spiegazione del perchè puoi procedere in quel modo.
L'equazione di conduzione monodimensionale è:
$-\lambda (d^2T)/dx^2=W$ ($W$ potenza termica volumica prodotta dalla parete).
Risolvi poi con le condizioni al contorno:
$T(0)=20$
e
$T(0.35)=40$
In questo modi trovi l'andamento della temperatura in funzione della posizione. A questo punto i due flussi sono $-lambda (dT)/(dx)(0)$ e $-lambda (dT)/(dx)(0.35)$
Il risultato dimensionale e in $W/m^2$
Nel caso di parete immersa in ambiente a temperatura data di cui conosci il coefficiente di scambio convettivo $h$ cambiano solo le condizioni al contorno: in questo caso devi imporre che il calore che esce, oche entra, da ciascuna parete sia uguale a quello che va o che viene preso in aria, non ti scrivo le formule, credo riuscirai ad arrivarci facilmente da te.
mmmm......No. Mi sono bloccato......non ho proprio capito come devo procedere....
Nel caso di parete piana, senza sviluppo interno di calore, io calcolavo:
la potenza termica q = H*A*(T1-T2) e le temperature delle varie pareti T = T1 - q/Ah o T =T1 - q/Aλ
In questo caso, però, con sviluppo interno di calore e con la parete che è immersa in un ambiente ad una certa T, quando calcolo il flusso interno di calore, ovviamente avrò solo il contibuto dato dalla fonte interna visto che è nulla la differenza delle temperature esterne. Poi però l'esercizio non mi fornisce nessun dato riguardo l'area della parete, quindi non capisco se devo continuare per questa strada e cioè assumendo A =1 m^2 o se devo lavorare in altre direzioni.......
Nel caso di parete piana, senza sviluppo interno di calore, io calcolavo:
la potenza termica q = H*A*(T1-T2) e le temperature delle varie pareti T = T1 - q/Ah o T =T1 - q/Aλ
In questo caso, però, con sviluppo interno di calore e con la parete che è immersa in un ambiente ad una certa T, quando calcolo il flusso interno di calore, ovviamente avrò solo il contibuto dato dalla fonte interna visto che è nulla la differenza delle temperature esterne. Poi però l'esercizio non mi fornisce nessun dato riguardo l'area della parete, quindi non capisco se devo continuare per questa strada e cioè assumendo A =1 m^2 o se devo lavorare in altre direzioni.......
Per i flussi mi sembra che chiedesse i flussi per unità di superficie, per il calcolo delle temperature l'area delle facce della parete non serve.
Ok....sto impazzendo.....
Se il problema mi fornisce le due temperature delle facce esterne, ossia una a 40°C e l'altra a 20°C, e mi fornisce la temperaturaa dell'ambiente esterno di 18°C....Come le devo calcolare ? ?
ho provato con queste formule ma non mi sembrano molto corrette....
T1 = Te + (q1/h) = 22,7° C
T2 = Te - (q2/h) = 29.3° C
Boh.....Tu cosa mi dici ?
GRAZIE PER ILTEMPO CHE TI STO FACENDO PERDERE....
Se il problema mi fornisce le due temperature delle facce esterne, ossia una a 40°C e l'altra a 20°C, e mi fornisce la temperaturaa dell'ambiente esterno di 18°C....Come le devo calcolare ? ?
ho provato con queste formule ma non mi sembrano molto corrette....
T1 = Te + (q1/h) = 22,7° C
T2 = Te - (q2/h) = 29.3° C
Boh.....Tu cosa mi dici ?
GRAZIE PER ILTEMPO CHE TI STO FACENDO PERDERE....
"ERiK":
mmmm......No. Mi sono bloccato......non ho proprio capito come devo procedere....
Nel caso di parete piana, senza sviluppo interno di calore, io calcolavo:
la potenza termica q = H*A*(T1-T2) e le temperature delle varie pareti T = T1 - q/Ah o T =T1 - q/Aλ
In questo caso, però, con sviluppo interno di calore e con la parete che è immersa in un ambiente ad una certa T, quando calcolo il flusso interno di calore, ovviamente avrò solo il contibuto dato dalla fonte interna visto che è nulla la differenza delle temperature esterne. Poi però l'esercizio non mi fornisce nessun dato riguardo l'area della parete, quindi non capisco se devo continuare per questa strada e cioè assumendo A =1 m^2 o se devo lavorare in altre direzioni.......
Per risolvere questo esercizio bisogna capire e risolvere in questo caso semplice l'equazione di Fourier, da cui deriva anche la formula che hai usato per lo strato piano senza generazione di calore all'interno.
Dopo aver capito e risolto l'equazione di Fourier, utile per un esercizio generico, si può passare a fare queste considerazioni: se la potenza per unità di volume generata all'interno della parate è uniforme, se le temperature dell'ambiente esterno sono uguali da entrambe le parti della parete e i coefficienti di scambio tra superficie della parete e ambiente sono uguali, allora per simmetria, in condizioni stazionarie, le temperature delle due superfici sono uguali e possono essere calcolate conoscendo i coefficienti di scambio. (è un caso particolare questo)
e quindi...... 
Purtroppo non ho tempo in questo periodo per risponderti esaustivamente.
Comunque come ti ha detto anche nonsoxke la strada da seguire è quella di scrivere e risolvere l'equazione di Fourier con le opportune condizioni al controno. Qualche messaggio fa ti avevo scritto qualcosa in proposito.
Ciao,
Comunque come ti ha detto anche nonsoxke la strada da seguire è quella di scrivere e risolvere l'equazione di Fourier con le opportune condizioni al controno. Qualche messaggio fa ti avevo scritto qualcosa in proposito.
Ciao,
Eccomi ancora qui.............scusate se sono sparito ma nel frattempo ho dato altri esami......
Cmq, spero di aver trovato la soluzione, ho solo un dubbio:
T1 = Ta + (Ws/2h) =T2
Cosa ne pensi?
Grazie ancora dell'aiuto
Cmq, spero di aver trovato la soluzione, ho solo un dubbio:
T1 = Ta + (Ws/2h) =T2
Cosa ne pensi?
Grazie ancora dell'aiuto
Se la temperatura dell'ambiente è uguale da ambo i lati, il risultato è corretto.
Il calore prodotto dalla parete fluisce simmetricamente sui due lati e basta imporre che il calore che esce dalla parete per conduzione è uguale a quello che finisce in aria per con convezione.
Il calore prodotto dalla parete fluisce simmetricamente sui due lati e basta imporre che il calore che esce dalla parete per conduzione è uguale a quello che finisce in aria per con convezione.
E se inserisco dopo la lastra uno strato di materiale isolante di spessore 2cm e λi =0.05
la temperatura della parete isolante è T2 = Ta + ( W * s1 / 2h ) ?
e la temperatura della parete interna è T1 = T2 + ( W * s1 * s2 /2λi) ?
la temperatura della parete isolante è T2 = Ta + ( W * s1 / 2h ) ?
e la temperatura della parete interna è T1 = T2 + ( W * s1 * s2 /2λi) ?
La T2 è corretta (stesso ragionamento di prima, la quantità di calore smaltita all'esterno quando siamo in regime stazionerio è uguale a quella prodotta e fluisce metà da una parte e metà dall'altra), anche il calcolo della T interna è corretto, perché la temperatura nella parete isolante è lineare.
GRAZIE SEI MITICO
"ERiK":
E se inserisco dopo la lastra uno strato di materiale isolante di spessore 2cm e λi =0.05
la temperatura della parete isolante è T2 = Ta + ( W * s1 / 2h ) ?
e la temperatura della parete interna è T1 = T2 + ( W * s1 * s2 /2λi) ?
Stai parlando del caso di generazione di calore uniforme all'interno?
In questo caso non sono corrette le formule per calcolare le temperature delle due facce, le potenze termiche scambiate dalle due facce non sono uguali visto che non c'è simmetria se lo strato di isolante si trova solo su una faccia.
Si tratta di risolvere l'equazione di Fourier, in questo caso una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti.
No no, il problema dice: ripetere l'esercizio precedente, nell'ipotesia che le due facce siano rivestite con uno strato di materiale isolante λi = 0,05 W/m^2K, di spessore 2 cm.
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