Parere/Aiuto su un esercizio

[Gioppetto]

Buongiorno! Allora io ho questo problema, che ho a mio modo risolto, ma essendo i risultati un po' strani volevo sapere se avevo sbagliato qualcosa
Mi viene innanzitutto:
-energia Potenziale: \(\displaystyle V = 2*k*l^2*cos(φ1+φ2) - 2*m*g*l*(cos(φ1)+cos(φ2)) + cost \)
Per ricavare le configurazioni di equilibrio:
$(delV)/(delφ1)$ \(\displaystyle = -2*k*l^2*sen(φ1+φ2) + 2*m*g*l*sen(φ1) = 0 \)

$(delV)/(delφ2)$ \(\displaystyle = -2*k*l^2*sen(φ1+φ2) + 2*m*g*l*sen(φ2) = 0 \)

da cui ottengo(ditemi qui se ho sbagliato) ben 8 configurazioni di equilibrio del tipo : (φ1,φ2) =

$(0,0)$ ; $(0,π)$ ; $(π,0)$ ; $(π,π)$ ; $(±arcos((mg)/(2kl)) , ±arcos((mg)/(2kl)) )$ ; $( π±arcos((mg)/(2kl)) , ±arcos((mg)/(2kl)) )$

Per determinare la stabilità:

$(del)/(delφ1)$$(delV)/(delφ1)$ \(\displaystyle = -2*k*l^2*cos(φ1+φ2) + 2*m*g*l*cos(φ1) \)

$(del)/(delφ1)$$(delV)/(delφ2)$ $=$ $(del)/(delφ2)$$(delV)/(delφ1)$ \(\displaystyle = -2*k*l^2*cos(φ1+φ2) \)

$(del)/(delφ2)$$(delV)/(delφ2)$ \(\displaystyle = -2*k*l^2*cos(φ1+φ2) + 2*m*g*l*cos(φ2) \)

Nelle varie configurazioni di equilibrio:
\(\displaystyle V''(0,0) = \) $2*l*$ $((m*g - k*l, - k*l),(- k*l,m*g - k*l))$ che trovo essere def.positiva per $(mg)/(kl)$$ > 2$

\(\displaystyle V''(0,π) = \) $2*l*$ $((m*g + k*l, k*l),( k*l,m*g + k*l))$ def. positiva

\(\displaystyle V''(π,0) = \) $2*l*$ $((k*l - m*g, k*l),( k*l,k*l - m*g))$ trovo $det V'' > 0$ per $(mg)/(kl) > 2$ ma gli elementi sulla diagonali essere positivi per $(mg)/(kl) < 1$ : da questo posso affermare che quindi è una configurazione instabile?

\(\displaystyle V''(π,π) = \) $2*l*$ $((-m*g - k*l, - k*l),(- k*l,-m*g - k*l))$ def. negativa

\(\displaystyle V'' (arcos((mg)/(2kl)) , arcos((mg)/(2kl)) ) = \) $2*m*g*l*$ $(((m*g)/(2*k*l) - sen(arcos((mg)/(2kl))), - sen(arcos((mg)/(2kl)))),(sen(arcos((mg)/(2kl))),(m*g)/(2*k*l) - sen(arcos((mg)/(2kl)))))$

qui io pensando che l'argomento del seno sarà sempre compreso tra $±$ $\pi/2$ il seno sarà al massimo pari a $±1$ quindi $det V'' > 0$ per $(mg)/(kl) < 1$ mentre gli elementi sulla diagonale risultano positivi per $(mg)/(kl) > 1$ e come prima dico che è instabile.
Ho tralasciato gli altri casi in quanto mi premeva capire se stavo sbgliando tutto fin qui
grazie a chi mi darà una mano!

[Gioppetto]

up

[Quinzio]

8 posizioni di equilibrio mi sembra che siano un po' troppe.
Le prime 4 ok, in cui le aste sono verticali, nelle 4 posizioni possibili. Tra l'altro sono tutte instabili.
Oltre a queste c'è solo una posizione di equilibrio, che è circa quella disegnata in figura (immagina solo che $\phi_1$ e $\phi_2$ siano uguali). Altre posizioni di equilibrio non ce ne sono, perchè deve comunque essere $\phi_1=\phi_2$ e i bracci lunghi devono stare sotto a quelli corti.

Credo che ci sia un errore nell'energia potenziale della molla, il cos non va al quadrato ?

[Gioppetto]

eccolo li l'errore che non avevo visto!!! grazie mille, non mi ero proprio accorto che non l'avevo elevato!In effetti si era una cosa improbabile, ma sviluppando appunto il potenziale fatto così mi venivano anche tutte quelle configurazioni imponendo l'uguaglianza degli angoli!

[Gioppetto]

rettifico :
quel termine è giusto che non sia al quadrato : l'ho calcolata con il teorema di Carnot quella lunghezza e c'è il coseno al primo grado!per cui mi sa che l'errore non è quello e io altri non ne vedo nell'energia potenziale
quindi le configurazioni che mi vengono in più sono lecite sostituendo nella derivata prima rispetto a φ1 della condizione φ1 = φ2
e sviluppando il sen(2φ1) che ne esce...vedi altri errori?