Paradosso sui numeri complessi
Salve a tutti, stavo studiando un libricino su alcune applicazioni delle serie di Fourier in problemi di fisica matematica ("Teoria ed applicazioni della serie di Fourier, Carlo Cercignani") e mi sono imbattuto nel problema di infiltrazioni di calore entro la superficie terrestre(per chi conoscesse il libro, a pag. 98), questo viene appunto trattato con le serie di Fourier, nella forma complessa. Ad un certo punto però compare uguagliando i coefficienti di due serie l'eq. diff. : $\frac{K}{S} \frac{\partial^2 h_n(x)}{\partial x^2}= i \omega n \cdot h_n(x)$ dove $\omega$ è costante, i è l'unità immaginaria e $n \in ZZ$. Chiaramente viene scritta la soluzione di tale eq. come: $h_n(x)=C_n e^{\alpha_n x}+D_n e^{-\alpha_n x}$ dove C_n e D_n sono costanti (in generale dipendenti da n), mentre (riporto esattamente il libro) :
Per $n>0, \alpha_n=\sqrt{\frac{S i\omega n}{K}}=\sqrt{\frac{S e^{i \frac{\pi}{2}}\omega n}{K}}=e^{i \frac{\pi}{4}}\sqrt{\frac{S \omega n}{K}}=(1+i)\sqrt{\frac{S \omega n}{2K}}$
Per $n<0, \alpha_n=-\sqrt{\frac{S i\omega n}{K}}=-\sqrt{e^{i \frac{\pi}{2}} e^{i \pi}\frac{S\omega|n|}{K}}=(1-i)\sqrt{\frac{S \omega |n|}{2K}}$ (questa distinzione tra parte reale e parte complessa la fa, poichè dopo vuole utilizzare il fatto che la parte reale sia sempre positiva, visto che la funzione caratteristica del problema è reale).
Il mio dubbio è perchè diavolo ci mette quel meno davanti alla radice quando $n<0$???? da dove spunta???
l'unica spiegazione che sono riuscito a trovare è "trafficando" un po' con le unità immaginarie, ovvero ho detto: se $n<0$ allora: $\sqrt{n}=\sqrt{-|n|}=i\sqrt{|n|}$, ma se $n<0$, $|n|=-n$, quindi $i\sqrt{|n|}=i^2\sqrt{n}=-\sqrt{n}$, il che vorrebbe dire che in $CC$ per un numero negativo $\sqrt{n}=-\sqrt{n}$, che a mio dire è un paradosso... come è possibile? dove sbaglio? e soprattutto perchè Cercignani mette quel meno?
Per $n>0, \alpha_n=\sqrt{\frac{S i\omega n}{K}}=\sqrt{\frac{S e^{i \frac{\pi}{2}}\omega n}{K}}=e^{i \frac{\pi}{4}}\sqrt{\frac{S \omega n}{K}}=(1+i)\sqrt{\frac{S \omega n}{2K}}$
Per $n<0, \alpha_n=-\sqrt{\frac{S i\omega n}{K}}=-\sqrt{e^{i \frac{\pi}{2}} e^{i \pi}\frac{S\omega|n|}{K}}=(1-i)\sqrt{\frac{S \omega |n|}{2K}}$ (questa distinzione tra parte reale e parte complessa la fa, poichè dopo vuole utilizzare il fatto che la parte reale sia sempre positiva, visto che la funzione caratteristica del problema è reale).
Il mio dubbio è perchè diavolo ci mette quel meno davanti alla radice quando $n<0$???? da dove spunta???
l'unica spiegazione che sono riuscito a trovare è "trafficando" un po' con le unità immaginarie, ovvero ho detto: se $n<0$ allora: $\sqrt{n}=\sqrt{-|n|}=i\sqrt{|n|}$, ma se $n<0$, $|n|=-n$, quindi $i\sqrt{|n|}=i^2\sqrt{n}=-\sqrt{n}$, il che vorrebbe dire che in $CC$ per un numero negativo $\sqrt{n}=-\sqrt{n}$, che a mio dire è un paradosso... come è possibile? dove sbaglio? e soprattutto perchè Cercignani mette quel meno?
Risposte
Secondo me l'autore sbaglia (sicuramente un refuso). Il - va dentro la radice. Infatti, nella seconda radice aggiunge giustamente l'esponenziale che dà -1, ma lascia il - fuori... Comunque il risultato è giusto.
ma senza quel meno che aggiunge (secondo te erroneamente), non viene $(1-i) \cdot \sqrt{ ... }$ ma $(i-1) \cdot \sqrt{ ... }$ il che non porterebbe alle stesse conclusioni, visto che a quel punto la parte reale sarebbe negativa.
Il punto è che la funzione del problema, di cui $h_n$ sono i coefficienti dello sviluppo complesso di Fourier, deve essere limitata per $x \to \infty$, oltre che essere una funzione reale, qiundi dovranno essere limitate anche tutte le $h_n \forall n$ e da ciò sfruttando il fatto che la parte reale di $\alpha_n$ risulterebbe positiva, si conclude che i coefficienti $C_n$ devono necessariamente essere nulli! Senza quel meno per gli n negativi, la parte reale di $\alpha_n$ è negativa e quindi non si può concludere allo stesso modo, avendo ancora le $h_n=C_n e^{\alpha_n x}$ se $n<0$ $h_n=D_n e^{-\alpha_n x} $ per $n>0$, il che non ci porta da nessuna parte nella scrittura della soluzione finale...
E comunque ancora non riesco a capire dove pecca il ragionamento per la serie di uguaglianze finali che porta all'assurdo $\sqrt{n}=-\sqrt{n}$ con n negativo, sapresti darmi una spiegazione di ciò?
Il punto è che la funzione del problema, di cui $h_n$ sono i coefficienti dello sviluppo complesso di Fourier, deve essere limitata per $x \to \infty$, oltre che essere una funzione reale, qiundi dovranno essere limitate anche tutte le $h_n \forall n$ e da ciò sfruttando il fatto che la parte reale di $\alpha_n$ risulterebbe positiva, si conclude che i coefficienti $C_n$ devono necessariamente essere nulli! Senza quel meno per gli n negativi, la parte reale di $\alpha_n$ è negativa e quindi non si può concludere allo stesso modo, avendo ancora le $h_n=C_n e^{\alpha_n x}$ se $n<0$ $h_n=D_n e^{-\alpha_n x} $ per $n>0$, il che non ci porta da nessuna parte nella scrittura della soluzione finale...
E comunque ancora non riesco a capire dove pecca il ragionamento per la serie di uguaglianze finali che porta all'assurdo $\sqrt{n}=-\sqrt{n}$ con n negativo, sapresti darmi una spiegazione di ciò?
La radice quadrata, in C, è una funzione polidroma! La radice quadrata di -1 fa ±i... per cui posso prendere i-1 o 1-i a mio piacimento... Un'altra pecca dell'autore, secondo me, è di non avere messo la periodicità in quegli esponenziali...
Ps. Scusa, non ho seguito gli altri tuoi ragionmenti, mi sono limitato al puro fatto algebrico
Ps. Scusa, non ho seguito gli altri tuoi ragionmenti, mi sono limitato al puro fatto algebrico
e quindi secondo quello che mi stai dicendo dovrebbe valere $i=\sqrt{-1}=-i$, ma non è un assurdo questo?? tale e quale al ragionamento sopra: se $n<0$ allora: $\sqrt{n}=\sqrt{-|n|}=i\sqrt{|n|}$, ma se $n<0$, $|n|=-n$, quindi $i\sqrt{|n|}=i^2\sqrt{n}=-\sqrt{n}$, il che vorrebbe dire che in $CC$ per un numero negativo $\sqrt{n}=-\sqrt{n}$. ciò a me sembra impossibile, forse sto sbagliando?
Come ti dicevo sopra, la radice quadrata in C è polidroma. Esattamente si ha $\sqrt{-1}=\pm i$. Così è... 
Ah, allora torna! semplicemente quel meno sta per la scelta di una delle due radici, specificatamente quella con il meno...ho capito bene?
Sì, ma io l'avrei messo alla fine... Riassumendo:
$ \sqrt{i}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$
$ \sqrt{-i}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)$.
$ \sqrt{i}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$
$ \sqrt{-i}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)$.
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