Paradosso di Bell con i treni
Ho realizzato l'animazione GeoGebra
https://www.geogebra.org/m/zfk7vxzg
corrispondente al paradosso di Bell ma con due treni al posto delle due astronavi.
Qualcuno che conosce bene la Relatività mi può far sapere se ho utilizzato correttamente le trasformazioni di Lorentz nelle contrazioni delle lunghezze dei treni nel riferimento K del terreno e delle lunghezze delle rotaie e delle stazioni nel riferimento delle astronavi (che passano progressivamente dal riferimento K al riferimento K')?
https://www.geogebra.org/m/zfk7vxzg
corrispondente al paradosso di Bell ma con due treni al posto delle due astronavi.
Qualcuno che conosce bene la Relatività mi può far sapere se ho utilizzato correttamente le trasformazioni di Lorentz nelle contrazioni delle lunghezze dei treni nel riferimento K del terreno e delle lunghezze delle rotaie e delle stazioni nel riferimento delle astronavi (che passano progressivamente dal riferimento K al riferimento K')?
Risposte
Ciao, benvenuto nel forum. L’animazione è carina, ma non rispecchia i termini del paradosso delle astronavi di Bell. Conosci bene il paradosso ( che è un semplice effetto relativistico, non ha niente di paradossale) ?
In passato se ne è parlato anche qui , il thread seguente fu aperto da un utente che non c’è più:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ll#p827995
in poche parole, il filo si rompe non per la contrazione di Lorentz, ma perché nel riferimento della nave posteriore quella anteriore si allontana sempre di più, e naturalmente nel riferimento di quella anteriore la posteriore rimane sempre più indietro (come sostengono vari autori, tra cui Franklin e Petkov , guarda i link che aveva messo navigatore) .
In passato se ne è parlato anche qui , il thread seguente fu aperto da un utente che non c’è più:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ll#p827995
in poche parole, il filo si rompe non per la contrazione di Lorentz, ma perché nel riferimento della nave posteriore quella anteriore si allontana sempre di più, e naturalmente nel riferimento di quella anteriore la posteriore rimane sempre più indietro (come sostengono vari autori, tra cui Franklin e Petkov , guarda i link che aveva messo navigatore) .
Ciao e ben trovato, sei il mio primo interlocutore nel forum.
Conosco bene il paradosso delle astronavi e su quello mi sono basato.
Tu mi dici che la mia animazione non rispecchia i termini del paradosso e, quindi, evidentemente, contiene degli errori.
Va bene, se mi indichi quali sono questi errori, sarò ben felice di apportare tutte le correzioni necessarie alla mia animazione.
Conosco bene il paradosso delle astronavi e su quello mi sono basato.
Tu mi dici che la mia animazione non rispecchia i termini del paradosso e, quindi, evidentemente, contiene degli errori.
Va bene, se mi indichi quali sono questi errori, sarò ben felice di apportare tutte le correzioni necessarie alla mia animazione.
Hai letto almeno qualcosa di quello che ho messo, per esempio il primo post di quel thread? E qualcuno dei link che l’ex utente aveva riportato? Altrimenti facciamo una inutile chiacchierata e alla fine non avremo concluso niente.
A proposito di quel post, c’è un disegno sotto spoiler che è stato cancellato. Purtroppo questo rende il post praticamente illeggibile. Ma ne avevo fatto uno snapshot a suo tempo, e l’ho ritrovato, per cui lo riporto qui, cosí il quadro è più completo :
per ragioni di chiarezza esecutiva del disegno, navigatore dopo aver disegnato le due iperboli in blu che rappresentano le traiettorie iperboliche delle due navi nel riferimento di terra $(ct,x)$ , ha riportato due posizioni $P_1Q_1$ alquanto staccate da quelle iniziali, ma bisogna immaginare che in realtà esse siano vicinissime a $P_0Q_0$. Ora in $P_1$ gli assi spaziotemporali della nave posteriore sono $ct_P, x_P$ , e la posizione spaziale della nave anteriore rispetto a quella posteriore è più lontana rispetto a quella di partenza. Col procedere del moto accelerato delle due navi, la separazione spaziale aumenta sempre di più , e il filo si spezza per questo aumento di distanza.
Guarda anche questa risposta di Benjamin Crowell , noto relativista americano:
https://www.physicsforums.com/insights/ ... -resolved/
e guarda anche la versione inglese di Wikipedia :
https://en.wikipedia.org/wiki/Bell%27s_ ... ip_paradox
Ora vedi perchè la tua animazione non può andare? Per capire perché il filo si rompe, devi considerare il punto di vista dell’osservatore della nave posteriore ( o anteriore, è uguale). Nella tua animazione, vedo che si contrae tutto sempre di più, ma questo è il punto di vista dell’ osservatore terrestre che Crowell chiama K. L’ultima frase di Crowell è sibillina, e getta un’ombra sulla soluzione di Bell.
La contrazione delle astronavi non entra in gioco, le due navi hanno accelerazione propria costante e uguale, ma diversa se ćonsiderata ciascuna rispetto all’altra.
In effetti la questione è più sottile di quanto sembra, e il relativista Vesselin Petkov, in questa sua pubblicazione su arXiv , è molto esplicito, per lui Bell ha valutato erroneamente la situazione. La stessa cosa ha detto Jerrold Franklin nella sua pubblicazione, sempre su arXiv, che è nell’elenco fornito da navigatore nel suo post.
A proposito di quel post, c’è un disegno sotto spoiler che è stato cancellato. Purtroppo questo rende il post praticamente illeggibile. Ma ne avevo fatto uno snapshot a suo tempo, e l’ho ritrovato, per cui lo riporto qui, cosí il quadro è più completo :
per ragioni di chiarezza esecutiva del disegno, navigatore dopo aver disegnato le due iperboli in blu che rappresentano le traiettorie iperboliche delle due navi nel riferimento di terra $(ct,x)$ , ha riportato due posizioni $P_1Q_1$ alquanto staccate da quelle iniziali, ma bisogna immaginare che in realtà esse siano vicinissime a $P_0Q_0$. Ora in $P_1$ gli assi spaziotemporali della nave posteriore sono $ct_P, x_P$ , e la posizione spaziale della nave anteriore rispetto a quella posteriore è più lontana rispetto a quella di partenza. Col procedere del moto accelerato delle due navi, la separazione spaziale aumenta sempre di più , e il filo si spezza per questo aumento di distanza.
Guarda anche questa risposta di Benjamin Crowell , noto relativista americano:
https://www.physicsforums.com/insights/ ... -resolved/
e guarda anche la versione inglese di Wikipedia :
https://en.wikipedia.org/wiki/Bell%27s_ ... ip_paradox
Ora vedi perchè la tua animazione non può andare? Per capire perché il filo si rompe, devi considerare il punto di vista dell’osservatore della nave posteriore ( o anteriore, è uguale). Nella tua animazione, vedo che si contrae tutto sempre di più, ma questo è il punto di vista dell’ osservatore terrestre che Crowell chiama K. L’ultima frase di Crowell è sibillina, e getta un’ombra sulla soluzione di Bell.
La contrazione delle astronavi non entra in gioco, le due navi hanno accelerazione propria costante e uguale, ma diversa se ćonsiderata ciascuna rispetto all’altra.
In effetti la questione è più sottile di quanto sembra, e il relativista Vesselin Petkov, in questa sua pubblicazione su arXiv , è molto esplicito, per lui Bell ha valutato erroneamente la situazione. La stessa cosa ha detto Jerrold Franklin nella sua pubblicazione, sempre su arXiv, che è nell’elenco fornito da navigatore nel suo post.
Quello che succede con le due astronavi di Bell è stato completamente analizzato e non c'è più niente da dire, se non ripetendo di nuovo le stesse cose, già ampiamente chiarite e confermate.
Quindi non era (e non è) mia intenzione ridiscutere quell'esperimento mentale.
Io vorrei sistemare al meglio la mia animazione con i due treni che, pur prendendo spunto da quel paradosso, introduce due novità: i binari e le stazioni.
Giusto per la precisione, ti faccio notare che non è vero che io abbia preso in considerazione solo il punto di vista dell'osservatore terrestre, forse non ti sei accorto che ho messo un'apposita casella dove l'utente può scegliersi il riferimento che preferisce e, in base a questa scelta, l'animazione adegua lo scenario.
In ogni caso, ha recepito il tuo suggerimento, quello di analizzare il tutto dal solo punto di vista del capotreno A che vede allontanarsi il treno B fino a spezzare il nastro che unisce i due treni.
E ho realizzato questa nuova animazione
https://www.geogebra.org/m/g4qeep3c
dove, adesso, c'è solo il punto di vista del capotreno A che vede contrarsi i binari e le stazioni (come nella precedente animazione che è sempre disponibile) e vede anche allontanarsi il treno B con la conseguenza che la distanza tra i due treni aumenta e il nastro si spezza.
Non sono sicuro, però, che tutto sia a posto.
Quindi non era (e non è) mia intenzione ridiscutere quell'esperimento mentale.
Io vorrei sistemare al meglio la mia animazione con i due treni che, pur prendendo spunto da quel paradosso, introduce due novità: i binari e le stazioni.
Giusto per la precisione, ti faccio notare che non è vero che io abbia preso in considerazione solo il punto di vista dell'osservatore terrestre, forse non ti sei accorto che ho messo un'apposita casella dove l'utente può scegliersi il riferimento che preferisce e, in base a questa scelta, l'animazione adegua lo scenario.
In ogni caso, ha recepito il tuo suggerimento, quello di analizzare il tutto dal solo punto di vista del capotreno A che vede allontanarsi il treno B fino a spezzare il nastro che unisce i due treni.
E ho realizzato questa nuova animazione
https://www.geogebra.org/m/g4qeep3c
dove, adesso, c'è solo il punto di vista del capotreno A che vede contrarsi i binari e le stazioni (come nella precedente animazione che è sempre disponibile) e vede anche allontanarsi il treno B con la conseguenza che la distanza tra i due treni aumenta e il nastro si spezza.
Non sono sicuro, però, che tutto sia a posto.
Quello che succede con le due astronavi di Bell è stato completamente analizzato e non c'è più niente da dire, se non ripetendo di nuovo le stesse cose, già ampiamente chiarite e confermate.
Magari fosse cosi! Se ne discute ancora. Se guardi sotto la voce di Wikipedia in inglese, ti rendi conto che c’è una marea di trattazioni, anche abbastanza recenti, come questa riportata da Baez nelle sue FAQ. È un articolo da leggere attentamente prima di pensare ad una animazione. Ci sono due diagrammi; nel primo, A ritiene che B sia a lui contemporaneo, ma B viceversa ritiene che sia C a lui contemporaneo. E più si va avanti più aumenta la distanza spaziale, vedi PQ…ciò perché non si può considerare un comune riferimento per il filo. Per farlo, Weiss propone il secondo diagramma, dove ora le iperboli sono quelle di Rindler, e anche qui la separazione spaziale aumenta. Ma è meglio leggere l’articolo.
Ora parliamo della tua animazione. Certamente la seconda è migliore della prima, ma non posso darti la certezza che sia assolutamente fedele allo spirito del paradosso proposto da Bell e alla sua soluzione su cui la maggioranza concorda: il filo si rompe non per la contrazione di Lorentz, ma perché le due navi si allontanano progressivamente, e il filo a un certo punto non resiste più e si spezza. Quello che succede alle navi , e quello che succede ai binari e alla stazione visti dalle navi, non ha importanza. Importa solo il filo !
Non so come tu abbia costruito l’animazione, conosco un po’ Geogebra, faccio dei disegni ogni tanto perché sono pigro, ma non sono capace di fare animazioni.
Una sola cosa voglio dirti. Nel primo post hai detto che ti sei servito delle trasformazioni di Lorentz. Ma non c’è una trasformazione di Lorentz che permetta di passare da un riferimento inerziale (quello di partenza) ad un riferimento in moto accelerato, con accelerazione propria costante , e quindi accelerazione coordinata variabile :
$\alpha = gamma(u)^3(du)/(dt)$
dove $\alpha$ è l’accelerazione propria costante , mentre $gamma(u)$ è il fattore di Lorentz che dipende dalla velocità $u$ , e $(du)/(dt)$ è l’accelerazione coordinata. Quindi, per poter usare le TL, devi sostituire a ciascuna linea di universo iperbolica una spezzata di piccoli segmenti, come ho fatto (solo per l’iperbole della nave posteriore) in questo schizzo :
e considerare ciascun piccolo segmento come linea di universo a velocità costante, “tangente” alla linea di universo iperbolica effettiva, che si ricava analiticamente dalla condizione di moto con accelerazione propria costante. Il riferimento spazio-temporale in ciascun breve tratto è il MCRF ( Momentary Comoving Reference Frame), e come vedi cambia da tratto a tratto: è il riferimento inerziale considerato momentaneamente tangente a quello in moto iperbolico, e puoi applicare le TL tra questo e quello precedente. LA cosa è abbastanza brigosa, ma rispecchia il punto di vista delle iperboli di Rindler.
Perciò, non sapendo come hai fatto l’animazione, ti ho detto all’inizio che non posso darti la convalida assoluta. Sarebbe presunzione ( o ignoranza?) da parte mia, in ogni caso.
Nel tuo schizzo e negli altri due che mi hai segnalato, ci sono solo punti (e non segmenti e poligoni) che si muovono nello spaziotempo e con i punti è più facile perché si limitano ad avvicinarsi o allontanarsi ma non si contraggono né si dilatano.
Invece, i segmenti e i poligoni (rotaie, treni e stazioni) si contraggono per le trasformazioni di Lorentz che non si possono ignorare né evitare.
Quindi tutti gli allontanamenti e gli avvicinamenti tra due punti dello spaziotempo devono corrispondere ad altrettanti allungamenti o contrazioni di lunghezze spaziali (in un riferimento) e queste modificazioni devono essere compatibili con gli allungamenti e le contrazioni presenti nell'altro riferimento.
Per questo ho introdotto i binari e le stazioni nelle mie animazioni dove ho esplicitamente descritto tutti i dati che ho utilizzato: partenza nel riferimento terrestre K, accelerazione progressiva fino ad arrivare alla velocità v=0,866c (gamma=2) alla quale corrisponde una contrazione delle lunghezze pari al 50%.
Nella mia prima animazione
https://www.geogebra.org/m/zfk7vxzg
il nastro, alla partenza (quando tutto e tutti sono fermi nel riferimento K del terreno), è lungo quanto una rotaia.
Durante il viaggio, la velocità del treno A passa da zero a 0,866c e, quindi, alla fine, nel riferimento K' del capotreno A, la rotaia (che è rimasta in K) s'è contratta alla metà della sua lunghezza originaria.
Di conseguenza, il nastro, pur restando con la sua originaria lunghezza nel riferimento K' del treno ormai a velocità v=0,866c (rispetto a K), è diventato due volte più lungo della rotaia che s'è accorciata (ecco perché la rotaia è importante, per il confronto!).
Se a questa contrazione di Lorentz (della rotaia che si accorcia alla metà del nastro di inalterata lunghezza) si aggiunge l'allungamento del nastro nel riferimento K' del treno (previsto da Bell), allora il nastro diventa lungo più di 2 rotaie (!) come si vede nella mia seconda animazione
https://www.geogebra.org/m/g4qeep3c
Come si può giustificare questo maggiore allungamento rispetto al doppio?
Inoltre, nelle mie animazioni c'è la casella che, spuntandola, ci fa vedere un unico treno (al posto dei due treni più la corda) e allora ti chiedo: se il treno che accelera come le astronavi di Bell è uno solo, che succede? S'allunga da solo mentre accelera?
Certamente una risposta razionale c'è ma non possiamo trovarla se, come tu chiedi, ci limitiamo a considerare solo punti liberi che si muovono nello spazio privo di riferimenti fissi, come lo sono le rotaie e le stazioni per i treni.
Invece, i segmenti e i poligoni (rotaie, treni e stazioni) si contraggono per le trasformazioni di Lorentz che non si possono ignorare né evitare.
Quindi tutti gli allontanamenti e gli avvicinamenti tra due punti dello spaziotempo devono corrispondere ad altrettanti allungamenti o contrazioni di lunghezze spaziali (in un riferimento) e queste modificazioni devono essere compatibili con gli allungamenti e le contrazioni presenti nell'altro riferimento.
Per questo ho introdotto i binari e le stazioni nelle mie animazioni dove ho esplicitamente descritto tutti i dati che ho utilizzato: partenza nel riferimento terrestre K, accelerazione progressiva fino ad arrivare alla velocità v=0,866c (gamma=2) alla quale corrisponde una contrazione delle lunghezze pari al 50%.
Nella mia prima animazione
https://www.geogebra.org/m/zfk7vxzg
il nastro, alla partenza (quando tutto e tutti sono fermi nel riferimento K del terreno), è lungo quanto una rotaia.
Durante il viaggio, la velocità del treno A passa da zero a 0,866c e, quindi, alla fine, nel riferimento K' del capotreno A, la rotaia (che è rimasta in K) s'è contratta alla metà della sua lunghezza originaria.
Di conseguenza, il nastro, pur restando con la sua originaria lunghezza nel riferimento K' del treno ormai a velocità v=0,866c (rispetto a K), è diventato due volte più lungo della rotaia che s'è accorciata (ecco perché la rotaia è importante, per il confronto!).
Se a questa contrazione di Lorentz (della rotaia che si accorcia alla metà del nastro di inalterata lunghezza) si aggiunge l'allungamento del nastro nel riferimento K' del treno (previsto da Bell), allora il nastro diventa lungo più di 2 rotaie (!) come si vede nella mia seconda animazione
https://www.geogebra.org/m/g4qeep3c
Come si può giustificare questo maggiore allungamento rispetto al doppio?
Inoltre, nelle mie animazioni c'è la casella che, spuntandola, ci fa vedere un unico treno (al posto dei due treni più la corda) e allora ti chiedo: se il treno che accelera come le astronavi di Bell è uno solo, che succede? S'allunga da solo mentre accelera?
Certamente una risposta razionale c'è ma non possiamo trovarla se, come tu chiedi, ci limitiamo a considerare solo punti liberi che si muovono nello spazio privo di riferimenti fissi, come lo sono le rotaie e le stazioni per i treni.
Nel tuo schizzo e negli altri due che mi hai segnalato, ci sono solo punti (e non segmenti e poligoni) che si muovono nello spaziotempo e con i punti è più facile perché si limitano ad avvicinarsi o allontanarsi ma non si contraggono né si dilatano.
Punto primo: forse non ti è chiaro che le linee di universo, siano esse iperboli di Rindler che hanno lo stesso asintoto, oppure semplicemente traslate “parallelamente “ una rispetto all’altra , sono due, una per la testa e una per la coda del filo, il quale è steso tra le due navi. Quindi non ci sono solo punti, c’è una bella “striscia di universo “ descritta dal filo mentre le navi si muovono nello spaziotempo. Infatti il diagramma di Minkowski porta in ascissa lo spazio, in ordinata il tempo, riferiti all’ OI di partenza.
Inoltre, nelle mie animazioni c'è la casella che, spuntandola, ci fa vedere un unico treno (al posto dei due treni più la corda) e allora ti chiedo: se il treno che accelera come le astronavi di Bell è uno solo, che succede? S'allunga da solo mentre accelera?
Punto secondo: forse non sai che in Relatività non esiste il concetto di corpo rigido. Se hai un solo treno , che ha un motore davanti e uno dietro che spingono alla stessa maniera, cioè danno la stessa accelerazione, succede proprio questo : il treno si allunga. Ovvero, se vuoi mantenere invariata la lunghezza, la coda deve accelerare più della testa.
Ti rimando a questa discussione, relativa al moto di un corpo “rigido” secondo Born, in cui in sostanza si chiariva che una asta rigida, accelerata nella direzione della sua lunghezza, per rimanere della stessa lunghezza (siamo in Relatività, non in meccanica classica!) deve accelerare in maniera diversa nei suoi punti : la coda più della testa :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8304993
leggi attentamente lo scritto di Wolfgang Rindler, e il suo disegno, riportato in uno dei post.
Per ultimo, leggi anche questo thread del vecchio navigatore :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 73#p922573
il disegno cancellato sotto spoiler è uguale a questo :
che si trova nelle “mathpages” indicate nel testo di navigatore.
Il problema è che ti ho dato tanti link, ma tu non li leggi.
"Shackle":
Punto secondo: forse non sai che in Relatività non esiste il concetto di corpo rigido. Se hai un solo treno , che ha un motore davanti e uno dietro che spingono alla stessa maniera, cioè danno la stessa accelerazione, succede proprio questo : il treno si allunga. Ovvero, se vuoi mantenere invariata la lunghezza, la coda deve accelerare più della testa.
Se ho un solo treno col motore davanti che lo accelera facendo girare le ruote davanti a una certa velocità angolare e un motore dietro che fa girare le ruote di dietro alla stessa velocità angolare delle ruote davanti, il treno non s'allunga.
In ogni caso, è evidente che non vuoi parlare di come varia nel tempo il rapporto tra la lunghezza del nastro che unisce i due treni e la lunghezza della rotaia.
Luigi,
Io sto parlando di relatività, non di meccanica newtoniana. Nel paradosso di Bell, non occorrono rotaie e stazione , basta un solo osservatore esterno al sistema. Ti invito a leggere qualcosa del tanto materiale che ti ho dato. L’effetto “variazione di lunghezza “ è quello che ti ho detto, in RR non esiste il corpo rigido.
Poi è evidente che rispetto al treno in moto i binari e la stazione si contraggono, ma non interessa.
PS : questo è l’articolo delle Mathpages dove si parla della rigidità secondo Born :
https://www.mathpages.com/home/kmath422/kmath422.htm
La parte interessante è questa :
To illustrate the application of these formulas, suppose a finite rod (initially at rest with respect to the inertial coordinates x,t) is subjected to Born acceleration such that the leading end of the rod moves with constant proper acceleration and achieves the speed V by the time it has traveled a distance of D. In other words, by the particle's proper time τf it has moved a distance D and reached the speed V, so we have :
$D = (cosh(a_jtau_f))/a_j - 1/a_j$
$v = tanh(a_jtau_f) $
Solving the right hand equation for $a_jτ_f$ , substituting into the left, and solving for $a_j$ gives :
$a_j = 1/D( 1/sqrt(1-v^2) -1 ) $
This is the magnitude of the constant proper acceleration which the leading end of the rod must undergo in order to meet the stated conditions. Also, the reciprocal of this value represents the distance of the leading end of the rod from the pivot event. Trailing sections of the rod must undergo a greater acceleration in order to maintain Born rigidity with the leading end, and the required acceleration is inversely proportional to the distance from the pivot event.
Naturalmente per capire che cosa sono le variabili qui riportate bisogna leggersi tutto l’articolo
LE stesse cose dice Rindler , nelle pagine già riportate da navigatore, che copio e incollo qui (paragrafo 3.8, sotto la figura) :
Ti saluto.
Io sto parlando di relatività, non di meccanica newtoniana. Nel paradosso di Bell, non occorrono rotaie e stazione , basta un solo osservatore esterno al sistema. Ti invito a leggere qualcosa del tanto materiale che ti ho dato. L’effetto “variazione di lunghezza “ è quello che ti ho detto, in RR non esiste il corpo rigido.
Poi è evidente che rispetto al treno in moto i binari e la stazione si contraggono, ma non interessa.
PS : questo è l’articolo delle Mathpages dove si parla della rigidità secondo Born :
https://www.mathpages.com/home/kmath422/kmath422.htm
La parte interessante è questa :
To illustrate the application of these formulas, suppose a finite rod (initially at rest with respect to the inertial coordinates x,t) is subjected to Born acceleration such that the leading end of the rod moves with constant proper acceleration and achieves the speed V by the time it has traveled a distance of D. In other words, by the particle's proper time τf it has moved a distance D and reached the speed V, so we have :
$D = (cosh(a_jtau_f))/a_j - 1/a_j$
$v = tanh(a_jtau_f) $
Solving the right hand equation for $a_jτ_f$ , substituting into the left, and solving for $a_j$ gives :
$a_j = 1/D( 1/sqrt(1-v^2) -1 ) $
This is the magnitude of the constant proper acceleration which the leading end of the rod must undergo in order to meet the stated conditions. Also, the reciprocal of this value represents the distance of the leading end of the rod from the pivot event. Trailing sections of the rod must undergo a greater acceleration in order to maintain Born rigidity with the leading end, and the required acceleration is inversely proportional to the distance from the pivot event.
Naturalmente per capire che cosa sono le variabili qui riportate bisogna leggersi tutto l’articolo
LE stesse cose dice Rindler , nelle pagine già riportate da navigatore, che copio e incollo qui (paragrafo 3.8, sotto la figura) :
Ti saluto.
Ti saluto anch'io, ciao, è stato un piacere.
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