Parabola rotante

[Landau1]

Ciao a tutti! Vorrei chiedere la vostra opinione su questo problema:

Una guida parabolica (immateriale) è libera di ruotare attorno l’asse verticale $u$, passante per il punto fisso $O$. Si introduca un sistema di riferimento fisso ${O; x, y, z}$, con origine in $O$ ed asse $z$ coincidente con l’asse $u$ e diretto come la verticale ascendente. Si consideri un sistema di riferimento solidale alla guida ${O; ξ, η, ζ}$, con piano della guida $π$ assegnato da $η = 0$, asse $ζ$ coincidente con $u$ e diretto come la verticale ascendente. In questo sistema di coordinate la guida è rappresentata da \(\zeta=\displaystyle\frac{a}{2}\xi^2\).
Sia infine $φ$ l’angolo che $π$ forma col piano fisso $y = 0$, contato in verso antiorario. Sulla guida è libero di scorrere senza attrito un punto materiale $P$, di massa $m$. Inoltre, fissato sulla guida nel punto di coordinata $ξ = L$, vi è il punto $Q$, di massa $M$.

1. Si scrivano le coordinate dei punti $P$ ed $Q$ nel sistema fisso. Si scriva di conseguenza la lagrangiana del sistema e le relative equazioni di Lagrange.

Comincio riportando il primo punto, in realtà il problema è molto più lungo

Allora, per trovare le coordinate assolute basta considerare che al sistema solidale è stata applicata una rotazione di angolo $phi$, quindi

$((x),(y))=((cosphi, -sinphi),(sinphi,cosphi))((xi),(eta))=((xicosphi-etasinphi),(xisinphi+etacosphi))$

La coordinata $z$ è la stessa in entrambi i sistemi di riferimento ed è soggetta al vincolo $z=zeta=a/2xi^2$. Inoltre, ricordando che $eta=0$ e che $xi=L$ per il punto $Q$ si hanno i raggi vettori $vec(OP)=xicosphivece_1+xisinphivece_2+a/2xi^2vece_3$ e $vec(OQ)=Lcosphivece_1+Lsinphivece_2+a/2L^2vece_3$.

Derivando e calcolando le norme si ha $||v_P||^2=xi^2dotphi^2+dotxi^2+a^2xi^2dotxi^2$ e $||v_Q||^2=L^2dotphi^2$.
Dunque $T=1/2m(dotxi^2(1+a^2xi^2)+dotphi^2xi^2)+1/2ML^2dotphi^2$.

L'energia potenziale è $V=V_P+V_Q=mg(||OP||)*vece_3+Mg(||OQ||)*vece_3=mga/2xi^2+Mga/2L^2$.

Finalmente si può scrivere la lagrangiana: \(\mathcal{L}\)$=1/2m(dotxi^2(1+a^2xi^2)+dotphi^2xi^2)+1/2ML^2dotphi^2-ga/2(mxi^2+ML^2)$.

Cosa ne pensate? Ci sono errori?

[professorkappa]

Il punto M e' fisso, non ha energia potenziale, partecipa alla lagrangiana solo con en. cin., quindi l'ultimo termine e' $ga/2mxi^2$
Il resto mii sembra a posto, anche se io avrei considerato il riferimento rotante (per m) perche per me si semplificano leggermente i calcoli, ma sono preferenze personali

[Landau1]

Mmm, ti ringrazio per la risposta, ma in quanto la coordinata verticale di $Q$ è diversa da zero, il punto non contribuisce all'energia potenziale con $V=mgz$?

[professorkappa]

La guida e' rigida, il punto e' fermo. La forza peso non fa lavoro, pertanto $dV=0$.

[Landau1]

Uh hai ragione, che stupido. Grazie! Gli altri punti allora seguono facilmente, non li riporto...

[professorkappa]

Ah, ma scusami, a rigore hai ragione tu. Avevo letto male io, hai scritto $mgL^2$, che e' costante. Quando sviluppi la lagrangiana si annulla da se'. Avevo frainteso io. Comunque se il punto e' fisso, puoi ignorare l'energia cinetica per quanto detto sopra.