Pallina su guida circolare con attrito
Salve,
chiedo lumi per impostare il seguente problemino.
Dentro una scodella emisferica di raggio R viene fatta scivolare, partendo da ferma ad altezza h, una pallina di massa m. La scodella presenta un coefficiente di attrito dinamico $mu_d$. Determinare a quale altezza $h_1$ giunge la pallina dopo la prima oscillazione (intendendo con oscillazione il percorso da un estremo all'altro). Determinare anche quante oscillazioni deve compiere la pallina prima di arrestarsi, a causa dell'attrito statico $mu_s$.
Approccio:
Fisso gli assi vericale (y) e orizzontale (x) con y che divide a metà la scodella. Indico con A la posizione di partenza B quella di arrivo dalla parte opposta e con O l'origine degli assi.
La conservazione dell'energia ci permette di scrivere
$(1/2)mv_1^2=L_(peso)+L_(at)$, dove $v_1$ è la velocità in O. $L_(peso)=-mgh$. Ora se fosse un piano inclinato $L_(at)=mumgcos\alpha$ con $\alpha$ angolo del piano inclinato che è una costante, ma ora tale angolo varia. Come fare?
chiedo lumi per impostare il seguente problemino.
Dentro una scodella emisferica di raggio R viene fatta scivolare, partendo da ferma ad altezza h, una pallina di massa m. La scodella presenta un coefficiente di attrito dinamico $mu_d$. Determinare a quale altezza $h_1$ giunge la pallina dopo la prima oscillazione (intendendo con oscillazione il percorso da un estremo all'altro). Determinare anche quante oscillazioni deve compiere la pallina prima di arrestarsi, a causa dell'attrito statico $mu_s$.
Approccio:
Fisso gli assi vericale (y) e orizzontale (x) con y che divide a metà la scodella. Indico con A la posizione di partenza B quella di arrivo dalla parte opposta e con O l'origine degli assi.
La conservazione dell'energia ci permette di scrivere
$(1/2)mv_1^2=L_(peso)+L_(at)$, dove $v_1$ è la velocità in O. $L_(peso)=-mgh$. Ora se fosse un piano inclinato $L_(at)=mumgcos\alpha$ con $\alpha$ angolo del piano inclinato che è una costante, ma ora tale angolo varia. Come fare?
Risposte
"zorrok":
Ora se fosse un piano inclinato $L_(at)=mumgcos\alpha$ con $\alpha$ angolo del piano inclinato che è una costante, ma ora tale angolo varia. Come fare?
Intanto, in $L_(at)=mumgcos\alpha$ hai dimenticato la lunghezza del piano.
Nel caso della scodella, devi integrare il lavoro fatto su uno spostamento infinitesimo:
$dL = mu_d mg cos alpha R dalpha$
Nel tuo caso, l'incognita è l'angolo dove inverte il moto, ossia il secondo estremo di integrazione
Considerando i punti A e B (una semi-oscillazione) avrei
$mg(h_f-h_i)=\mumgRsin(\alpha_f-\alpha_i)$ avendo fatto l'integrale del coseno fra l'angolo iniziale e finale.. Ho considerato l'angolo fra la retta l'orizzontale ad altezza R ed il raggio posizione della pallina. Siamo così di fronde ad una equazione con due incognite $h_f$ e $\alpha_f$.
$mg(h_f-h_i)=\mumgRsin(\alpha_f-\alpha_i)$ avendo fatto l'integrale del coseno fra l'angolo iniziale e finale.. Ho considerato l'angolo fra la retta l'orizzontale ad altezza R ed il raggio posizione della pallina. Siamo così di fronde ad una equazione con due incognite $h_f$ e $\alpha_f$.
"zorrok":
Considerando i punti A e B (una semi-oscillazione) avrei
$mg(h_f-h_i)=\mumgRsin(\alpha_f-\alpha_i)$ avendo fatto l'integrale del coseno fra l'angolo iniziale e finale.. Ho considerato l'angolo fra la retta l'orizzontale ad altezza R ed il raggio posizione della pallina. Siamo così di fronde ad una equazione con due incognite $h_f$ e $\alpha_f$.
Forse non ho capito bene. Come due incognite? $h_f$ non si può ricavare da $alpha_f$?
si certo, in effetti la due variabili sono legate fra loro.
provo a postare la mia soluzione con due file immagine.
Veramente, per quanto riguarda la forza di attrito:
Insomma, a rigore, il problema sarebbe ancora più complesso:
https://www.scielo.br/j/rbef/a/SzsqGHs3 ... df&lang=en
$F_a=\mu(mgcos\theta+mv^2/R)$
Insomma, a rigore, il problema sarebbe ancora più complesso:
https://www.scielo.br/j/rbef/a/SzsqGHs3 ... df&lang=en
il link non funziona, potresti ripostarlo, per favore? Rimanda ad una soluzione completa?
Puoi sempre fare un copia e incolla nella barra degli indirizzi.
e si..l'ho fatto ma scarica un pdf vuoto...
Premesso che sono ignorante sul tema e mi affido alle reminiscenze delle superiori.
Ho dato un'occhiata al link e non capisco...
Nella mia testa la forza centripeta non è propriamente una "forza fisica", cioè non nasce come interazione tra gli oggetti/materia, ma semplicemente una "forza matematica", cioè introdotta per definizione come la componente delle forze che è normale alla traiettoria e quindi si occupa di far curvare i corpi.
Quindi, per esempio, preso l'esempio della pallina, le "forze fisiche" sono la forza peso, la forza normale e la forza di attrito. Successivamente possiamo fare la somma di tutte le forze, prendere la forza normale alla traiettoria e chiamarla Forza Centripeta.
Aggiungendola come nella tua formula (o quella del link) sembra invece smentire quello detto da me.
Dove sto sbagliando??
Ho dato un'occhiata al link e non capisco...
Nella mia testa la forza centripeta non è propriamente una "forza fisica", cioè non nasce come interazione tra gli oggetti/materia, ma semplicemente una "forza matematica", cioè introdotta per definizione come la componente delle forze che è normale alla traiettoria e quindi si occupa di far curvare i corpi.
Quindi, per esempio, preso l'esempio della pallina, le "forze fisiche" sono la forza peso, la forza normale e la forza di attrito. Successivamente possiamo fare la somma di tutte le forze, prendere la forza normale alla traiettoria e chiamarla Forza Centripeta.
Aggiungendola come nella tua formula (o quella del link) sembra invece smentire quello detto da me.
Dove sto sbagliando??
ho aperto il file pdf, molto interessante, Grazie.
Se non sono "pesante" sarebbe bello anche calcolare quante oscillazioni compie la pallina prima di arrestarsi in un estremo prima di arrestarsi a causa dell'attrito statico.
Se non sono "pesante" sarebbe bello anche calcolare quante oscillazioni compie la pallina prima di arrestarsi in un estremo prima di arrestarsi a causa dell'attrito statico.
"Wilde":
... le "forze fisiche" sono la forza peso, la forza normale e la forza di attrito. Successivamente possiamo fare la somma di tutte le forze, prendere la forza normale alla traiettoria e chiamarla forza centripeta.
Appunto. La somma delle componenti delle forze fisiche normali alla traiettoria, per il 2° principio della dinamica, deve essere uguale al prodotto della massa per l'accelerazione centripeta:
$[-mgsin\theta+N=ma_c] ^^ [a_c=v^2/R] rarr [N=mgsin\theta+mv^2/R]$
Ergo, per quanto riguarda la forza di attrito:
$[F_a=\muN] rarr [F_a=\mum(gsin\theta+v^2/R)]$
P.S.
L'angolo $\theta$ è quello del link.
Si si chiaro, genitlissimo.
"zorrok":
... sarebbe bello ...
Magari, sostituendo dei valori numerici. Del resto, la pallina potrebbe anche fermarsi nel corso della prima discesa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo