Pallina colpisce una sbarra
Una sbarra (L,M) note, è vincolata nel suo centro O per mezzo di una cerniera cilindrica ideale, grazie alla quale ruota senza attrito attorno ad un asse orizzontale e ad essa ortogonale. All'inizio la sbarra è in quiete e orizzontale. Poi un corpo m puntiforme parte da fermo e da un'altezza h colpisce un estremo A della sbarra con un urto anelastico.
1)trova il modulo della velocità angolare del sistema subito dopo l'urto
ho un sistema isolato dove ho un urto anelastico quindi $qi = qf$ cioè $m vi = (m+M) vf$
inoltre posso dire che si conserva il momento angolare e quindi $Ki = Kf$ cioè $(A - O)X m vi = I w$ dove $I$ è riferito a entrambe le masse cioè quanto vale? Inoltre, a questo punto mi trova sempre un'incognita (vi o vf).....e quindi la velocità angolare la posso esprimere in funzione della velocità... Ma non è che mi torni tanto...un aiuto?
2)calcola l'energia dissipata nell'urto.
scrivo che lenergia meccanica iniziale - l'energia meccanica finale eguaglia zero. E cioè $mgh - (3mgL + 1/2 mv^2 + 1/2 I w^2)= 0$ corretto?
3)l'impulso della reazione vincolare durante l'urto.
utilizzo il teorema dell'impulso? sono confusa comunque perchè questo teorema lo utilizzo solo con sistemi non isolati, ma questo non sembra essere quel caso...Come lo svolgo quindi?
1)trova il modulo della velocità angolare del sistema subito dopo l'urto
ho un sistema isolato dove ho un urto anelastico quindi $qi = qf$ cioè $m vi = (m+M) vf$
inoltre posso dire che si conserva il momento angolare e quindi $Ki = Kf$ cioè $(A - O)X m vi = I w$ dove $I$ è riferito a entrambe le masse cioè quanto vale? Inoltre, a questo punto mi trova sempre un'incognita (vi o vf).....e quindi la velocità angolare la posso esprimere in funzione della velocità... Ma non è che mi torni tanto...un aiuto?
2)calcola l'energia dissipata nell'urto.
scrivo che lenergia meccanica iniziale - l'energia meccanica finale eguaglia zero. E cioè $mgh - (3mgL + 1/2 mv^2 + 1/2 I w^2)= 0$ corretto?
3)l'impulso della reazione vincolare durante l'urto.
utilizzo il teorema dell'impulso? sono confusa comunque perchè questo teorema lo utilizzo solo con sistemi non isolati, ma questo non sembra essere quel caso...Come lo svolgo quindi?
Risposte
Se ho capito bene il problema la quantità di moto totale non si dovrebbe conservare, perché il sistema non è isolato ma c'è la reazione della cerniera, che ha momento nullo rispetto al centro O, dunque si conserva solo il momento angolare, e nell'equazione che hai scritto potresti sostituire a $ v_i $ la velocità di un corpo che scende in caduta libera da un'altezza h.
Per quanto riguarda il secondo punto, con l'equazione che hai scritto tu vai ad eguagliare energia meccanica iniziale e finale, e in quel caso non c'è dissipazione di energia; penso si debba calcolare semplicemente la differenza, senza eguagliare a 0.
Per quanto riguarda il terzo punto credo che l'impulso sia uguale alla variazione della quantità di moto totale, quindi farei:
$ (M+m)*v_(CM) - m*v_i$ , dove $ v_(CM) = omega*d_(CM) $ , con $ d_(CM) $ uguale alla distanza tra la cerniera e il centro di massa del corpo formato dal punto materiale e dalla sbarra.
Per quanto riguarda il secondo punto, con l'equazione che hai scritto tu vai ad eguagliare energia meccanica iniziale e finale, e in quel caso non c'è dissipazione di energia; penso si debba calcolare semplicemente la differenza, senza eguagliare a 0.
Per quanto riguarda il terzo punto credo che l'impulso sia uguale alla variazione della quantità di moto totale, quindi farei:
$ (M+m)*v_(CM) - m*v_i$ , dove $ v_(CM) = omega*d_(CM) $ , con $ d_(CM) $ uguale alla distanza tra la cerniera e il centro di massa del corpo formato dal punto materiale e dalla sbarra.
allora
1)trova il modulo della velocità angolare del sistema subito dopo l'urto
$ Ki=Kf $ cioè $(A−O)Xmvi=Iw$ con $vi=\sqrt(2gh)$ Giusto? e $I$ sarebbe di tutto il sistema? quanto vale?
2)calcola l'energia dissipata nell'urto.
$mgh−(3mgL+1/2mv^2+1/2Iw^2)$
3)l'impulso della reazione vincolare durante l'urto.
come faccio a calcolare la distanza tra cerniera e centro di massa del corpo formato da punto materiale e sbarra? mi sfuggono le formule al momento...
4)altezza minima dalla quale deve cadere il punto materiale perchè il sistema possa compiere un giro completo intorno all'asse orizzontale....
5)nelle ipotesi del punto 4, la reazione vincolare quando il centro di massa del sistema raggiunge la max altezza
1)trova il modulo della velocità angolare del sistema subito dopo l'urto
$ Ki=Kf $ cioè $(A−O)Xmvi=Iw$ con $vi=\sqrt(2gh)$ Giusto? e $I$ sarebbe di tutto il sistema? quanto vale?
2)calcola l'energia dissipata nell'urto.
$mgh−(3mgL+1/2mv^2+1/2Iw^2)$
3)l'impulso della reazione vincolare durante l'urto.
come faccio a calcolare la distanza tra cerniera e centro di massa del corpo formato da punto materiale e sbarra? mi sfuggono le formule al momento...
4)altezza minima dalla quale deve cadere il punto materiale perchè il sistema possa compiere un giro completo intorno all'asse orizzontale....
5)nelle ipotesi del punto 4, la reazione vincolare quando il centro di massa del sistema raggiunge la max altezza
3) Per il centro di massa puoi vedere su wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Centro_di_massa
4) Dopo l'urto c'è conservazione dell'energia (la reazione della cerniera non compie lavoro perché la cerniera è ferma), e la condizione necessaria perché il corpo compia un giro completo è che il centro di massa arrivi alla massima altezza con velocità pari a zero, perciò io scriverei:
$ 1/2*I_O*omega^2 = (m+M)*g*d_(CM) $
e da qui ricaverei $ omega $ e poi imporrei che la velocità della massa m, cioè $ sqrt(2*g*h) $, sia tale da produrre una velocità angolare dopo l'urto uguale a quella trovata con l'equazione che ho scritto sopra.
5) Quando la sbarra è in verticale ci dovrebbe essere una forza centripeta che permette al centro di massa di cambiare la direzione del proprio vettore velocità, e questa forza dovrebbe essere la risultante di peso e reazione della cerniera:
$ F_c = N+P $ (supponendo che N e P siano concordi in verso)
Nelle condizioni del punto 4 $ F_c = 0$, perciò $ N = -P $
4) Dopo l'urto c'è conservazione dell'energia (la reazione della cerniera non compie lavoro perché la cerniera è ferma), e la condizione necessaria perché il corpo compia un giro completo è che il centro di massa arrivi alla massima altezza con velocità pari a zero, perciò io scriverei:
$ 1/2*I_O*omega^2 = (m+M)*g*d_(CM) $
e da qui ricaverei $ omega $ e poi imporrei che la velocità della massa m, cioè $ sqrt(2*g*h) $, sia tale da produrre una velocità angolare dopo l'urto uguale a quella trovata con l'equazione che ho scritto sopra.
5) Quando la sbarra è in verticale ci dovrebbe essere una forza centripeta che permette al centro di massa di cambiare la direzione del proprio vettore velocità, e questa forza dovrebbe essere la risultante di peso e reazione della cerniera:
$ F_c = N+P $ (supponendo che N e P siano concordi in verso)
Nelle condizioni del punto 4 $ F_c = 0$, perciò $ N = -P $
grazie,ma riguardo al punto 1) il momento di inerzia sarebbe di tutto il sistema? quanto vale?
È il momento di inerzia di tutto il sistema rispetto ad O ed è dato dalla somma del momento di inerzia dell'asta rispetto ad O e del momento di inerzia della massa m rispetto ad O ( $ m*(l/2) ^2 $ )
ok. ma sono dubbiosa su questi punti...
a) ma riguardo al punto 2 dove calcolo l'energia dissipata nell'urto (assumento che la 3m sia la massa della sbarra), l'ho svolto correttamente? cioè l'energia iniziale è solo quella potenziale del corpo puntiforme e quella finale somma delle cinetiche dei due corpi e della potenziale della sbarra. Ti sembra fatto bene?
b)nel punto 3, dove calcolo l'impulso, la velocità angolare che considero è quella del sistema o della sbarretta? del sistema giusto?
c)se nel punto 1, se mi avesse chiesto la velocità angolare della sbarretta (E NON DEL SISTEMA) dopo l'urto, avrei dovuto solamente cambiare il momento d'inerzia nella formula cioè metterci solo quello della sbarretta...?
d)se l'urto fosse elastico, come trovo la velocità del punto materiale dopo l'urto? uso la conservazione dell'energia cinetica? e cioè $1/2 m v_i^2 = 1/2 m v_f^2 + 1/2 M v_f^2$ ?
e)ultima cosa: se sempre nelle ipotesi di urto elastico, mi chiede la reazione che deve sussistere tra M ed m affinchè il corpo puntiforme rimbalzi? cosa scrivo? non è già insito nella definizione di un urto elastico che vi sia il rimbalzo?
a) ma riguardo al punto 2 dove calcolo l'energia dissipata nell'urto (assumento che la 3m sia la massa della sbarra), l'ho svolto correttamente? cioè l'energia iniziale è solo quella potenziale del corpo puntiforme e quella finale somma delle cinetiche dei due corpi e della potenziale della sbarra. Ti sembra fatto bene?
b)nel punto 3, dove calcolo l'impulso, la velocità angolare che considero è quella del sistema o della sbarretta? del sistema giusto?
c)se nel punto 1, se mi avesse chiesto la velocità angolare della sbarretta (E NON DEL SISTEMA) dopo l'urto, avrei dovuto solamente cambiare il momento d'inerzia nella formula cioè metterci solo quello della sbarretta...?
d)se l'urto fosse elastico, come trovo la velocità del punto materiale dopo l'urto? uso la conservazione dell'energia cinetica? e cioè $1/2 m v_i^2 = 1/2 m v_f^2 + 1/2 M v_f^2$ ?
e)ultima cosa: se sempre nelle ipotesi di urto elastico, mi chiede la reazione che deve sussistere tra M ed m affinchè il corpo puntiforme rimbalzi? cosa scrivo? non è già insito nella definizione di un urto elastico che vi sia il rimbalzo?
?
Ho riletto il testo del problema e ho visto che c'è scritto urto anelastico ma non "totale". Ci ho pensato perchè hai scritto
come se i due corpi rimanessero separati dopo l'urto, ma a questo punto che senso avrebbe la quarta domanda? Se la pallina non rimanesse attaccata alla sbarra il baricentro di quest'ultima rimarrebbe nel centro, dove c'è la cerniera, e non essendoci attrito nè momento della forza peso questa sbarra continuerebbe a girare all'infinito. Questo mi fa supporre che l'urto sia anelastico totale. Perciò nel punto 2 io come energia finale metterei solo $ 1/2*I_O*omega^2 $ , dove $ I_O $ è il momento d'inerzia rispetto ad O del corpo firmato da massa e sbarra. Poi non ho capito perchè hai messo $ 3*m*g*L $ : se ho capito bene il problema la sbarra è orizzontale, perciò io come livello zero dell'energia potenziale ho preso il livello della sbarra, il cui centro di massa subito dopo l'urto, quindi, non dovrebbe avere energia potenziale. Per il punto 3 se i due corpi rimangono uniti dopo l'urto la velocità angolare dovrebbe essere una sola, quella del corpo unico formato dalla massa e dalla sbarra.
Stessa cosa: se i due corpi rimangono uniti la velocità angolare è una sola.
Se l'urto è elastico c'è la conservazione dell'energia cinetica ma io scriverei:
$ 1/2*m*v_i^2 = 1/2*m*v_f^2+1/2*I_O*omega^2 $
perchè la sbarra è vincolata, quindi il centro di massa rimane fermo e l'energia cinetica è solo rotazionale.
Per quanto riguarda l'ultimo punto non vorrei sbagliarmi ma non credo che in un urto elastico uno dei corpi debba rimbalzare. Comunque non saprei come calcolare la reazione; al massimo secondo me si può calcolare l'impulso di questa reazione, che dovrebbe essere tale da produrre sulla massa m una variazione di quantità di moto pari ad almeno la quantità di moto iniziale(in questo caso la massa m dovrebbe rimanere ferma dopo l'urto).
la velocità angolare che considero è quella del sistema o della sbarretta?
come se i due corpi rimanessero separati dopo l'urto, ma a questo punto che senso avrebbe la quarta domanda? Se la pallina non rimanesse attaccata alla sbarra il baricentro di quest'ultima rimarrebbe nel centro, dove c'è la cerniera, e non essendoci attrito nè momento della forza peso questa sbarra continuerebbe a girare all'infinito. Questo mi fa supporre che l'urto sia anelastico totale. Perciò nel punto 2 io come energia finale metterei solo $ 1/2*I_O*omega^2 $ , dove $ I_O $ è il momento d'inerzia rispetto ad O del corpo firmato da massa e sbarra. Poi non ho capito perchè hai messo $ 3*m*g*L $ : se ho capito bene il problema la sbarra è orizzontale, perciò io come livello zero dell'energia potenziale ho preso il livello della sbarra, il cui centro di massa subito dopo l'urto, quindi, non dovrebbe avere energia potenziale. Per il punto 3 se i due corpi rimangono uniti dopo l'urto la velocità angolare dovrebbe essere una sola, quella del corpo unico formato dalla massa e dalla sbarra.
se nel punto 1, se mi avesse chiesto la velocità angolare della sbarretta (E NON DEL SISTEMA) dopo l'urto, avrei dovuto solamente cambiare il momento d'inerzia nella formula cioè metterci solo quello della sbarretta...?
Stessa cosa: se i due corpi rimangono uniti la velocità angolare è una sola.
Se l'urto è elastico c'è la conservazione dell'energia cinetica ma io scriverei:
$ 1/2*m*v_i^2 = 1/2*m*v_f^2+1/2*I_O*omega^2 $
perchè la sbarra è vincolata, quindi il centro di massa rimane fermo e l'energia cinetica è solo rotazionale.
Per quanto riguarda l'ultimo punto non vorrei sbagliarmi ma non credo che in un urto elastico uno dei corpi debba rimbalzare. Comunque non saprei come calcolare la reazione; al massimo secondo me si può calcolare l'impulso di questa reazione, che dovrebbe essere tale da produrre sulla massa m una variazione di quantità di moto pari ad almeno la quantità di moto iniziale(in questo caso la massa m dovrebbe rimanere ferma dopo l'urto).
"step98":
Se ho capito bene il problema la quantità di moto totale non si dovrebbe conservare, perché il sistema non è isolato ma...
@step98
1)scusa step non sono d'accordo con questa tua affermazione: la quantità di moto totale non si conserva non perchè il sistema non è isolato ma perchè ho un urto con un corpo rigido vincolato. Il sistema io credo proprio sia isolato perchè avviene un normale urto tra due corpi facenti parte dello stesso sistema (non ho un impulso improvviso dall'esterno).
2)potresti spiegarmi meglio perchè scegli di fare in quel modo nel punto 4? Dici che la condizione necessaria perchè il corpo compia un giro completo è che il centro di massa arrivi alla massima altezza con velocità nulla. Ma, se fosse come dici tu non farebbe solamente 3/4 di giro? inoltre non capisco le formule che applichi...sempre del punto 4...
thanks..Lucy
...
1)Perchè non hai un impulso dall'esterno? Proprio perchè il corpo è vincolato ci dovrebbe essere l'impulso del vincolo.
2)Sì fa 3/4 di giro, ma questa è la condizione limite; per qualunque velocità iniziale maggiore di quella che trovi in questo modo la sbarra prosegue il moto rotatorio e poichè, superato il punto di massima altezza, il centro di massa è sottoposto ad un momento, quello della forza peso, che fa aumentare la velocità angolare, sicuramente il centro di massa ritornerà alla posizione iniziale, compiendo così un giro completo. Quell'equazione che ho scritto non fa altro che eguagliare l'energia cinetica iniziale (essendo quella potenziale assente, dato che ho preso come livello 0 dell'energia potenziale quello a cui si trova la sbarra all'inizio) all'energia potenziale finale, data dalla somma delle masse (dato che i due corpi rimangono uniti dopo l'urto) per g per l'altezza rispetto alla cerniera; da quell'equazione ricavi la velocità angolare che la sbarra deve avere dopo l'urto; con la conservazione del momento angolare puoi poi trovare la velocità che la massa m doveva avere prima dell'urto per produrre quella velocità angolare che hai calcolato prima; a questo punto applicando la conservazione dell'energia alla massa m ti trovi l'altezza dalla quale doveva essere scesa per avere, prima dell'urto, quella velocità che hai trovato.
2)Sì fa 3/4 di giro, ma questa è la condizione limite; per qualunque velocità iniziale maggiore di quella che trovi in questo modo la sbarra prosegue il moto rotatorio e poichè, superato il punto di massima altezza, il centro di massa è sottoposto ad un momento, quello della forza peso, che fa aumentare la velocità angolare, sicuramente il centro di massa ritornerà alla posizione iniziale, compiendo così un giro completo. Quell'equazione che ho scritto non fa altro che eguagliare l'energia cinetica iniziale (essendo quella potenziale assente, dato che ho preso come livello 0 dell'energia potenziale quello a cui si trova la sbarra all'inizio) all'energia potenziale finale, data dalla somma delle masse (dato che i due corpi rimangono uniti dopo l'urto) per g per l'altezza rispetto alla cerniera; da quell'equazione ricavi la velocità angolare che la sbarra deve avere dopo l'urto; con la conservazione del momento angolare puoi poi trovare la velocità che la massa m doveva avere prima dell'urto per produrre quella velocità angolare che hai calcolato prima; a questo punto applicando la conservazione dell'energia alla massa m ti trovi l'altezza dalla quale doveva essere scesa per avere, prima dell'urto, quella velocità che hai trovato.
"step98":
Quell'equazione che ho scritto non fa altro che eguagliare l'energia cinetica iniziale (essendo quella potenziale assente, dato che ho preso come livello 0 dell'energia potenziale quello a cui si trova la sbarra all'inizio) all'energia potenziale finale, data dalla somma delle masse (dato che i due corpi rimangono uniti dopo l'urto) per g per l'altezza rispetto alla cerniera;
questa altezza è la distanza tra il centro di massa del sistema totale e la cerniera? giusto?
Sì, giusto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo