Ottica di Fourier - Filtraggio Spaziale
'Salve
Sto affrontando un corso di ottica, principalmente ottica non lineare e ottica di Fourier.
Sono arrivato a un argomento che non riesco a digerire, cioè il filtraggio spaziale
Fisicamente il fenomeno mi è chiaro, nel piano P2 metto un filtro, elimino le frequenze che desidero e una volta antitrasformato il campo elettrico nel piano P2 ottengo nel piano P3 l'immagine di partenza modificata in base alle frequenze che ho tolto con il filtro (esempio: bordi più accentuati o più sfumati).
Ma analiticamente non riesco a capire come la lente L2 antitrasformi l'immagine nel piano P2.
L'equazione che ricavo dalla teoria scalare della diffrazione, in approssimazione parassiale è la seguente (la simbologia si riferisce all'immagine soprastante):
$ U(p,q) = e^(jkz)/(j\lambda z)*e^(jk/(2z)(p^2+q^2))\int int U(x,y)*e^(jk/(2z)(x^2+y^2))*e^(-jk/(2z)(px+qy))dpdq $
La lente L1 ci permette tramite lo sfasamento introdotto dalla sua geometria di avere a distanza pari alla sua focale la seguente relazione (a meno di qualche costante moltiplicativa che trascuriamo):
$ U(p,q) = \mathcal{F} { U(x,y) } $
Ora, se metto un filtro che indichiamo analiticamente con $H(p,q)$, nel piano P2 ottengo $ \mathcal{F}{ U(x,x) }* H(p,q)$
.
Come mai, per mezzo della lente L2 ottengo una antitrasformata nel piano P3 ?
Tutti gli aspetti analitici che mi portano ad avere la trasformata su P2 mi sono chiari e il seguito che mi manca.
Ho intuito che c'è in gioco qualche proprietà della convoluzione... ma nulla di più.
In classe purtroppo abbiamo fatto una lezione piuttosto fugace sull'argomento, e di appunti on-line (in italiano e in inglese) non ho trovato nulla (il che non implica che non esistano) che tratti questo aspetto analiticamente.
Vi ringrazio x le risposte
Sto affrontando un corso di ottica, principalmente ottica non lineare e ottica di Fourier.
Sono arrivato a un argomento che non riesco a digerire, cioè il filtraggio spaziale
Fisicamente il fenomeno mi è chiaro, nel piano P2 metto un filtro, elimino le frequenze che desidero e una volta antitrasformato il campo elettrico nel piano P2 ottengo nel piano P3 l'immagine di partenza modificata in base alle frequenze che ho tolto con il filtro (esempio: bordi più accentuati o più sfumati).
Ma analiticamente non riesco a capire come la lente L2 antitrasformi l'immagine nel piano P2.
L'equazione che ricavo dalla teoria scalare della diffrazione, in approssimazione parassiale è la seguente (la simbologia si riferisce all'immagine soprastante):
$ U(p,q) = e^(jkz)/(j\lambda z)*e^(jk/(2z)(p^2+q^2))\int int U(x,y)*e^(jk/(2z)(x^2+y^2))*e^(-jk/(2z)(px+qy))dpdq $
La lente L1 ci permette tramite lo sfasamento introdotto dalla sua geometria di avere a distanza pari alla sua focale la seguente relazione (a meno di qualche costante moltiplicativa che trascuriamo):
$ U(p,q) = \mathcal{F} { U(x,y) } $
Ora, se metto un filtro che indichiamo analiticamente con $H(p,q)$, nel piano P2 ottengo $ \mathcal{F}{ U(x,x) }* H(p,q)$
.
Come mai, per mezzo della lente L2 ottengo una antitrasformata nel piano P3 ?
Tutti gli aspetti analitici che mi portano ad avere la trasformata su P2 mi sono chiari e il seguito che mi manca.
Ho intuito che c'è in gioco qualche proprietà della convoluzione... ma nulla di più.
In classe purtroppo abbiamo fatto una lezione piuttosto fugace sull'argomento, e di appunti on-line (in italiano e in inglese) non ho trovato nulla (il che non implica che non esistano) che tratti questo aspetto analiticamente.
Vi ringrazio x le risposte
Risposte
Premetto che di questo argomento non ne so quasi niente, quindi potrei dire grosse stupidaggini.
Per la seconda lente dovresti applicare una nuova trasformata di Fourier, rispetto alle coordinate del nuovo piano. Poi sfrutti la proprietà $\mathcal{F}[fg] = \mathcal{F}[f] ** \mathcal{F}[g]$, dove l'asterisco è la convoluzione. Nel caso il filtro non faccia niente dovresti tornare alla funzione iniziale, quindi in questo senso è come l'antitrasformata.
Per la seconda lente dovresti applicare una nuova trasformata di Fourier, rispetto alle coordinate del nuovo piano. Poi sfrutti la proprietà $\mathcal{F}[fg] = \mathcal{F}[f] ** \mathcal{F}[g]$, dove l'asterisco è la convoluzione. Nel caso il filtro non faccia niente dovresti tornare alla funzione iniziale, quindi in questo senso è come l'antitrasformata.
E' proprio come dice Eredir.
De silvestri vero?
De silvestri vero?
"Eredir":
Premetto che di questo argomento non ne so quasi niente, quindi potrei dire grosse stupidaggini.
Per la seconda lente dovresti applicare una nuova trasformata di Fourier, rispetto alle coordinate del nuovo piano. Poi sfrutti la proprietà $\mathcal{F}[fg] = \mathcal{F}[f] ** \mathcal{F}[g]$, dove l'asterisco è la convoluzione. Nel caso il filtro non faccia niente dovresti tornare alla funzione iniziale, quindi in questo senso è come l'antitrasformata.
Ok... quindi la proprietà di antitrasformata deriva da un discorso di "ottica geometrica", cioè i raggi nel piano P2 si "invertono", quindi lo sfasamento dello spettro nel piano P3 nelle nuove coordinate ($bb \alpha,bb \beta$) si comporta come una antitrasformata....
Immaginavo che fosse un discorso del genere.. ma volevo qualche conferma
Ti ringrazio Eredir
*giacor86: Esatto
Anzi.. quasi quasi ne approfitterò della vostra gentilezza per chiedervi delle delucidazioni sull'effetto Raman, dovuto agli effetti non lineari del terzo ordine (in un topic apposito ovviamente)...
Uhm.. no va che in questo contesto l'ottica geometrica non centra nulla. Anzi!!! siamo in regime di ottica diffrattiva, non geometrica. Non è una questione di raggi che si invertono. è una questione che quello che succede da P2 a P3 è esattamente quello che succede da P1 a P2, ovvero si fa la trasformata di fourier della funzione spaziale che hai (e questo hai detto che l'hai capito anche matematicamente). ora se tu trasformi una trasformata, ritorni alla funzione originale (forse con un segno meno ma vabbè non è questo l'importante). è una proprietà della trasformata di fourier, non centrano nulla i raggi che si invertono.
"giacor86":
Uhm.. no va che in questo contesto l'ottica geometrica non centra nulla. Anzi!!! siamo in regime di ottica diffrattiva, non geometrica. Non è una questione di raggi che si invertono. è una questione che quello che succede da P2 a P3 è esattamente quello che succede da P1 a P2, ovvero si fa la trasformata di fourier della funzione spaziale che hai (e questo hai detto che l'hai capito anche matematicamente). ora se tu trasformi una trasformata, ritorni alla funzione originale (forse con un segno meno ma vabbè non è questo l'importante). è una proprietà della trasformata di fourier, non centrano nulla i raggi che si invertono.
Ti ringrazio per il chiarimento giacor86
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