Ottenere un'equazione differenziale di Lagrange del moto
Ciao ragazzi..
sto cercando di capire (o meglio, "credo" di aver capito come procedere ma mi sto incasinando con le derivate) come ottenere l'equazione suddetta da una funzione lagrangiana del tipo:
[aprite le immagini in un'altra scheda perchè in anteprima vengono tagliate a causa della dimensione]
per arrivare all'equazione differenziale io agirei così:
[anche questa viene tagliata lateralmente in anteprima, anche se potrebbe sembrare intera: aprite anche questa in un'altra scheda]

e quindi per il punto 1 considererei i "teta" (non derivati) come variabili diverse dai "teta punto" e quindi in sostanza i vari $sinθ$ e $cosθ$ come "costanti" da portare "fuori dalla derivazione" (spero di riuscire a spiegarmi)

quando però devo derivare rispetto al tempo (quindi il punto 2) non riesco a capire se devo derivare sia i "teta" che i "teta punto" rispetto al tempo, oppure solo i "teta punto"; ed inoltre faccio un gran papocchio di derivate (immagino che io debba fare delle derivate di "funzioni di funzioni" ma poi all'atto pratico mi incasino un sacco): qualcuno potrebbe gentilmente postarmi i passaggi del calcolo precisi cosicchè io possa capire come si fanno in generale?

PS. per il punto 3 devo derivare la $L$ rispetto a "teta" e basta (quindi considerando i "teta punto" come costanti), giusto?
Che pasticcio!!!
sto cercando di capire (o meglio, "credo" di aver capito come procedere ma mi sto incasinando con le derivate) come ottenere l'equazione suddetta da una funzione lagrangiana del tipo:
[aprite le immagini in un'altra scheda perchè in anteprima vengono tagliate a causa della dimensione]
$ L = T + U $ =
per arrivare all'equazione differenziale io agirei così:
[anche questa viene tagliata lateralmente in anteprima, anche se potrebbe sembrare intera: aprite anche questa in un'altra scheda]

e quindi per il punto 1 considererei i "teta" (non derivati) come variabili diverse dai "teta punto" e quindi in sostanza i vari $sinθ$ e $cosθ$ come "costanti" da portare "fuori dalla derivazione" (spero di riuscire a spiegarmi)

quando però devo derivare rispetto al tempo (quindi il punto 2) non riesco a capire se devo derivare sia i "teta" che i "teta punto" rispetto al tempo, oppure solo i "teta punto"; ed inoltre faccio un gran papocchio di derivate (immagino che io debba fare delle derivate di "funzioni di funzioni" ma poi all'atto pratico mi incasino un sacco): qualcuno potrebbe gentilmente postarmi i passaggi del calcolo precisi cosicchè io possa capire come si fanno in generale?

PS. per il punto 3 devo derivare la $L$ rispetto a "teta" e basta (quindi considerando i "teta punto" come costanti), giusto?
Che pasticcio!!!

Risposte
Ho letto solo l'inizio e deve essere $L=T-U$.
Scrivi le formule per intero sull editor.
Anzi, preferibilmente scrivi l'esercizio per verificare se le lagrangiane sono giuste.
Se ho capito bene la domanda, bisogna derivare tutto, anche i termini in theta punto
Anzi, preferibilmente scrivi l'esercizio per verificare se le lagrangiane sono giuste.
Se ho capito bene la domanda, bisogna derivare tutto, anche i termini in theta punto
credo di aver capito perchè sono giunto al risultato del libro..
in pratica se devo derivare, ad esempio, un $sin^2(θ)$ rispetto al tempo devo derivare prima rispetto alla variabile θ e poi rispetto al tempo.. quindi ad esempio $sin^2(θ(t))$ -> derivato -> $sin(2θ) θ'$ cioe $2sinθcosθ (θ')$
e quindi per il punto 1) ho scritto una cazzata immane in quanto nella risoluzione non compare θ'' ma ancora θ' perchè li non sto derivando ancora per il tempo..
o almeno spero di aver capito..
in pratica se devo derivare, ad esempio, un $sin^2(θ)$ rispetto al tempo devo derivare prima rispetto alla variabile θ e poi rispetto al tempo.. quindi ad esempio $sin^2(θ(t))$ -> derivato -> $sin(2θ) θ'$ cioe $2sinθcosθ (θ')$
e quindi per il punto 1) ho scritto una cazzata immane in quanto nella risoluzione non compare θ'' ma ancora θ' perchè li non sto derivando ancora per il tempo..
o almeno spero di aver capito..

"mikelozzo":
credo di aver capito perchè sono giunto al risultato del libro..
in pratica se devo derivare, ad esempio, un $sin^2(θ)$ rispetto al tempo devo derivare prima rispetto alla variabile θ e poi rispetto al tempo.. quindi ad esempio $sin^2(θ(t))$ -> derivato -> $sin(2θ) θ'$ cioe $2sinθcosθ (θ')$
e quindi per il punto 1) ho scritto una cazzata immane in quanto nella risoluzione non compare θ'' ma ancora θ' perchè li non sto derivando ancora per il tempo..
o almeno spero di aver capito..
Purtroppo e' difficile saltare da figura a figura.
E' correttto fino a:"quindi ad esempio $sin^2(θ(t))$ -> derivato -> $sin(2θ) θ'$ cioe $2sinθcosθ (θ')$, anche se non ho capito come fai a scrivere le tre formule in quell'ordine (logica vorrebbe che fosse $sin^2(θ(t))$ -> derivato -> $2sinθcosθ (θ')$ cioe $2sin(2θ) θ')$.
Comunque usa la matematica. Quell'ultima frase la potevi scrivere ${d}/{dt}[sin^2(\theta(t))]=2sin(\theta)cos(\theta)\dot\theta=sin(2\theta)\dot\theta$.
Da "..e quindi per il punto 1....." in poi non capisco cosa dici perche non vedo le figure.