[Oscillazioni]Modulazione di ampiezza, ma anche di fase?
Di solito, fenomeni come quello dei battimenti sono illustrati mostrando che se si sovrappongono due onde armoniche, intese come parti reali di esponenziali complessi, si ottiene un risultato come il seguente:
\[Ae^{i \omega_1 t}+Ae^{i\omega_2t}=2Ae^{i\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t}\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right),\]
ovvero un termine oscillante con pulsazione \(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\) modulato in ampiezza da un coseno di pulsazione \(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\).
Qui però si è supposto che le due onde avessero la stessa ampiezza. Cosa succede a lasciar cadere questa ipotesi? La matematica è facile:
\[A_1e^{i \omega_1 t}+A_2e^{i\omega_2t}=e^{i\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t}\left[A_1e^{i\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t}+A_2e^{i\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t}\right].\]
Ma cosa significa, fisicamente, questo risultato? Nella lezione dedicata (la 48ma del primo volume), Feynman dice che l'interpretazione è la stessa: si ha una oscillazione con pulsazione \(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\) modulata in ampiezza dal termine in parentesi quadra.
Io però vedo in parentesi quadra un termine avente fase variabile nel tempo, e quindi concluderei che si deve osservare una modulazione anche nella fase. Tuttavia il libro non menziona questo aspetto e nemmeno sono riuscito ad osservarlo in alcuni esperimentini numerici che ho fatto con Maple. Forse mi sbaglio? Come devo interpretare, allora, il fatto che il termine modulante
\[\left[A_1e^{i\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t}+A_2e^{i\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t}\right]\]
ha fase variabile nel tempo?
\[Ae^{i \omega_1 t}+Ae^{i\omega_2t}=2Ae^{i\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t}\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right),\]
ovvero un termine oscillante con pulsazione \(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\) modulato in ampiezza da un coseno di pulsazione \(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\).
Qui però si è supposto che le due onde avessero la stessa ampiezza. Cosa succede a lasciar cadere questa ipotesi? La matematica è facile:
\[A_1e^{i \omega_1 t}+A_2e^{i\omega_2t}=e^{i\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t}\left[A_1e^{i\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t}+A_2e^{i\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t}\right].\]
Ma cosa significa, fisicamente, questo risultato? Nella lezione dedicata (la 48ma del primo volume), Feynman dice che l'interpretazione è la stessa: si ha una oscillazione con pulsazione \(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\) modulata in ampiezza dal termine in parentesi quadra.
Io però vedo in parentesi quadra un termine avente fase variabile nel tempo, e quindi concluderei che si deve osservare una modulazione anche nella fase. Tuttavia il libro non menziona questo aspetto e nemmeno sono riuscito ad osservarlo in alcuni esperimentini numerici che ho fatto con Maple. Forse mi sbaglio? Come devo interpretare, allora, il fatto che il termine modulante
\[\left[A_1e^{i\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t}+A_2e^{i\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t}\right]\]
ha fase variabile nel tempo?
Risposte
no, non c'è modulazione di fase.
hai un segnale del tipo $A(t) e^(i omega t) = A(t) cos (omega t + phi)$ con $phi=c o s t$
dove l'ampiezza è funzione del tempo secondo la funzione coincidente col termine tr aperentesi quadre (se A1 e A2 sono reali allora A(t) è reale ed è solo un'ampiezza che varia nel tempo).
perche ci sia anche modulazione di fase dovresti avere $phi=phi(t)$ (attraverso la modulante)
hai un segnale del tipo $A(t) e^(i omega t) = A(t) cos (omega t + phi)$ con $phi=c o s t$
dove l'ampiezza è funzione del tempo secondo la funzione coincidente col termine tr aperentesi quadre (se A1 e A2 sono reali allora A(t) è reale ed è solo un'ampiezza che varia nel tempo).
perche ci sia anche modulazione di fase dovresti avere $phi=phi(t)$ (attraverso la modulante)
"cyd":Tu dici? Purtroppo a me non risulta... Continua a leggere, per favore.
no, non c'è modulazione di fase.[...]
(se A1 e A2 sono reali allora A(t) è reale ed è solo un'ampiezza che varia nel tempo).
Devono essere pure uguali. Se sono diversi allora
\[A_1e^{i \frac{\omega_1-\omega_2}{2}t}+A_2e^{i \frac{\omega_2-\omega_1}{2}t}\]
non è reale in ogni istante. Prendiamo un esempio: se \(\omega_1=1, \omega_2=2, A_1=1, A_2=2\) (lasciando perdere le unità di misura), allora la formula precedente diventa
\[e^{-i \frac{1}{2}t}+2e^{i \frac{1}{2}t}=3\cos\left( \frac{t}{2}\right)+i\sin\left(\frac{t}{2}\right).\]
A me sembra che qui la fase sia variabile in misura di
\[\tan \theta= \frac{1}{3}\tan\left(\frac{t}{2}\right).\]
Forse sbaglio qualcosa? Che ne dici?
Forse la faccio troppo semplice.... Ma non puoi semplicemente scrivere
$A_1 = A_2 + B$
in questo modo scarichi su $B$ la differenza di ampiezze. E quello che ti resta alla fine é il battimento piú un'oscillazione armonica.
$A_1 = A_2 + B$
in questo modo scarichi su $B$ la differenza di ampiezze. E quello che ti resta alla fine é il battimento piú un'oscillazione armonica.
Ciao alle.fabbri! Quindi tu interpreti il fenomeno dicendo che la differenza in ampiezza provoca l'apparizione di una componente armonica in più, oscillante alla frequenza \(\omega_2\). In effetti è una interpretazione possibile e, per quanto mi riguarda, è pure soddisfacente.
Ciao dissonance!
Devo confessare che mi sembra un po' barare... Però in fin dei conti col principio di sovrapposizione puoi "buttare via" tutto quello che non vuoi e concentrarti su quello che ti interessa. L'unica perplessità che mi rimane è il fatto che lo stesso trucco si può usare così
$A_2 = A_1 - B$
e quindi l'armonica in più che spunta vibra con una frequenza $\omega_1$....che suona un po' come un'affermazione del tipo "il battimento non è univocamente determinato". Non saprei, ci penso.
Devo confessare che mi sembra un po' barare... Però in fin dei conti col principio di sovrapposizione puoi "buttare via" tutto quello che non vuoi e concentrarti su quello che ti interessa. L'unica perplessità che mi rimane è il fatto che lo stesso trucco si può usare così
$A_2 = A_1 - B$
e quindi l'armonica in più che spunta vibra con una frequenza $\omega_1$....che suona un po' come un'affermazione del tipo "il battimento non è univocamente determinato". Non saprei, ci penso.
Permettete anche a me di scrivere qualche passaggio al riguardo?
[tex]\begin{array}{l}
\dot W\left( t \right) = {A_1}{{\rm{e}}^{j{\omega _{\rm{1}}}t}} + {A_2}{{\rm{e}}^{j{\omega _2}t}} = \\
= {A_1}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} + {A_2}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}{{\rm{e}}^{ - j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} = \\
= \frac{{{A_1} + {A_2}}}{2}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} + \frac{{{A_1} - {A_2}}}{2}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} + \\
+ \frac{{{A_1} + {A_2}}}{2}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}{{\rm{e}}^{ - j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} - \frac{{{A_1} - {A_2}}}{2}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}{{\rm{e}}^{ - j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} = \\
= \left( {{A_1} + {A_2}} \right){{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}\left( {\frac{{{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} + {{\rm{e}}^{ - j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}}}{2}} \right) + j\left( {{A_1} - {A_2}} \right){{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}\left( {\frac{{{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} - {{\rm{e}}^{ - j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}}}{{2j}}} \right) = \\
= \left( {{A_1} + {A_2}} \right){{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}\cos \left( {\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}} \right)t + j\left( {{A_1} - {A_2}} \right){{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}\sin \left( {\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}} \right)t \\
W\left( t \right) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\dot W\left( t \right)} \right\} = {W_1}\left( t \right) + {W_2}\left( t \right) \\
{W_1}\left( t \right) = \left( {{A_1} + {A_2}} \right)\cos \left( {\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}} \right)t\cos \left( {\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}} \right)t \\
{W_2}\left( t \right) = - \left( {{A_1} - {A_2}} \right)\sin \left( {\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}} \right)t\sin \left( {\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}} \right)t \\
\end{array}[/tex]
Guardando il risultato, dunque, vedo due onde in quadratura, di ampiezza diversa, di identica frequenza portante e modulate in ampiezza con identica frequenza modulante.
La somma delle due onde è un guazzabuglio che penso possa anche venire interpretato come un'onda modulata in fase... anzi modulata un po' in tutto direi
[tex]\begin{array}{l}
\dot W\left( t \right) = {A_1}{{\rm{e}}^{j{\omega _{\rm{1}}}t}} + {A_2}{{\rm{e}}^{j{\omega _2}t}} = \\
= {A_1}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} + {A_2}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}{{\rm{e}}^{ - j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} = \\
= \frac{{{A_1} + {A_2}}}{2}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} + \frac{{{A_1} - {A_2}}}{2}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} + \\
+ \frac{{{A_1} + {A_2}}}{2}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}{{\rm{e}}^{ - j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} - \frac{{{A_1} - {A_2}}}{2}{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}{{\rm{e}}^{ - j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} = \\
= \left( {{A_1} + {A_2}} \right){{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}\left( {\frac{{{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} + {{\rm{e}}^{ - j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}}}{2}} \right) + j\left( {{A_1} - {A_2}} \right){{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}\left( {\frac{{{{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}} - {{\rm{e}}^{ - j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}}}{{2j}}} \right) = \\
= \left( {{A_1} + {A_2}} \right){{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}\cos \left( {\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}} \right)t + j\left( {{A_1} - {A_2}} \right){{\rm{e}}^{j\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}t}}\sin \left( {\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}} \right)t \\
W\left( t \right) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\dot W\left( t \right)} \right\} = {W_1}\left( t \right) + {W_2}\left( t \right) \\
{W_1}\left( t \right) = \left( {{A_1} + {A_2}} \right)\cos \left( {\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}} \right)t\cos \left( {\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}} \right)t \\
{W_2}\left( t \right) = - \left( {{A_1} - {A_2}} \right)\sin \left( {\frac{{{\omega _{\rm{1}}} + {\omega _{\rm{2}}}}}{2}} \right)t\sin \left( {\frac{{{\omega _{\rm{1}}} - {\omega _{\rm{2}}}}}{2}} \right)t \\
\end{array}[/tex]
Guardando il risultato, dunque, vedo due onde in quadratura, di ampiezza diversa, di identica frequenza portante e modulate in ampiezza con identica frequenza modulante.
La somma delle due onde è un guazzabuglio che penso possa anche venire interpretato come un'onda modulata in fase... anzi modulata un po' in tutto direi
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