Oscillazioni forzate
Nell' istante iniziale t=0 un sistema riposa nello stato d'equilibrio$(x=0,x'=0)$ , determinare le oscillazioni forzate del sistema sotto una forza $F(t)=F_0e^(-alphat)$
Il risultato da
$ x=F_0/(m(omega^2+alpha^2))(e^(-alphat)-coswt+alpha/omegasinwt) $
A me non viene soltanto quell' ultimo termine $alpha/omegasinwt$
In pratica non capisco come svolge ,
$ (-isinwt)/(-m(alpha-iomega) $
Grazie
Risposte
Ci diresti anche come è fatto il sistema ?
Non c' è nessuna indicazione sulla natura del sistema , che sia un pendolo o una particella.
Mi si dice soltanto che all' istante $t=0$ un sistema riposa nello stato d'equilibrio appunto $x=0,x'=0$ e per $ t>0 $ subisce l'azione di una forza $F(t)=F_0e^(-alphat)$
Questo è il mio svolgimento :
partendo da $x''+omega^2x=1/mF(t)$
si può scrivere l'equazione del moto come
$ d/dt(x'+iwx )-iw(x'+iwx )=1/mF(t) $
introduco la grandezza complessa
$ xi =x'+iwx $ e si ha $ d/dt(xi )-iw(xi )=1/mF(t) $ dunque
$ xi=e^(iwt) [int_(0)^(t) 1/mF(t)e^(-iwt)dt+xi_0] $ $(22.10)$
allora la funzione $x(t)$ cercata e data dalla parte immaginaria di $22.10$(divisa per $iomega$)
Seguendo questo ragionamento arrivo appunto al risultato
$ x=F_0/(m(omega^2+alpha^2))(e^(-alphat)-coswt)$
senza il termine $alpha/omegasinwt$ , che invece il mio libro , Landau, riporta.
Mi si dice soltanto che all' istante $t=0$ un sistema riposa nello stato d'equilibrio appunto $x=0,x'=0$ e per $ t>0 $ subisce l'azione di una forza $F(t)=F_0e^(-alphat)$
Questo è il mio svolgimento :
partendo da $x''+omega^2x=1/mF(t)$
si può scrivere l'equazione del moto come
$ d/dt(x'+iwx )-iw(x'+iwx )=1/mF(t) $
introduco la grandezza complessa
$ xi =x'+iwx $ e si ha $ d/dt(xi )-iw(xi )=1/mF(t) $ dunque
$ xi=e^(iwt) [int_(0)^(t) 1/mF(t)e^(-iwt)dt+xi_0] $ $(22.10)$
allora la funzione $x(t)$ cercata e data dalla parte immaginaria di $22.10$(divisa per $iomega$)
Seguendo questo ragionamento arrivo appunto al risultato
$ x=F_0/(m(omega^2+alpha^2))(e^(-alphat)-coswt)$
senza il termine $alpha/omegasinwt$ , che invece il mio libro , Landau, riporta.
se l'equazione la devi risolvere con un metodo ben determinato,fa conto che non abbia scritto niente
una soluzione particolare dell'equazione $ ddot(x)+omega^2x=F_0/me^(-alphat) $ è la funzione $F_0/(m(alpha^2+omega^2))e^(-alphat)$
quindi la soluzione generale dell'equazione è $x=c_1cosomegat+c_2senomegat+F_0/(m(alpha^2+omega^2))e^(-alphat)$
calcolando $ dot(x) $ e imponendo le condizioni iniziali pervieni al risultato
una soluzione particolare dell'equazione $ ddot(x)+omega^2x=F_0/me^(-alphat) $ è la funzione $F_0/(m(alpha^2+omega^2))e^(-alphat)$
quindi la soluzione generale dell'equazione è $x=c_1cosomegat+c_2senomegat+F_0/(m(alpha^2+omega^2))e^(-alphat)$
calcolando $ dot(x) $ e imponendo le condizioni iniziali pervieni al risultato
Si quel metodo lo conosco , infatti sono sicuro che la soluzione del libro è giusta proprio perché l' ho utilizzato per confermarla.
Il fatto è che devo usare quel metodo , nuovo per me , per poi andare a studiare oscillazioni di sistemi con più gradi di libertà, così vuole il Prof.
Utilizzandolo , si riesce a trovare quella soluzione ?
Il fatto è che secondo me sbaglio qualcosa in questo termine $ (isinwt)/(m(alpha-iomega) $
Grazie per l'aiuto.
Il fatto è che devo usare quel metodo , nuovo per me , per poi andare a studiare oscillazioni di sistemi con più gradi di libertà, così vuole il Prof.
Utilizzandolo , si riesce a trovare quella soluzione ?
Il fatto è che secondo me sbaglio qualcosa in questo termine $ (isinwt)/(m(alpha-iomega) $
Grazie per l'aiuto.
Calcolata la 22.10, presa la parte immaginaria, divisa per omega... risultato perfetto...
Calcolata la 22.10 mi risulta :
$ F_0(e^(iwt-e^(-alphat)))/(m(alpha+iomega))=F_0(cosomegat+isinomegat-e^(alphat))/(m(alpha+iomega)) $ moltiplico e
divido per il complesso coniugato prendo la parte immaginaria e divido per $omega$. Tutto torna grazie .
Ma perché però si divide per $omega$?
$ F_0(e^(iwt-e^(-alphat)))/(m(alpha+iomega))=F_0(cosomegat+isinomegat-e^(alphat))/(m(alpha+iomega)) $ moltiplico e
divido per il complesso coniugato prendo la parte immaginaria e divido per $omega$. Tutto torna grazie .
Ma perché però si divide per $omega$?
Perchè la oarte immaginaria di xi è omega x.
Grazie
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