Oscillazioni di un corpo connesso ad una molla
Un oggetto di massa m è appoggiato su di un piano orizzontale ed è connesso ad una parete fissa tramite una molla di costante elastica k. Tra la massa m ed il piano orizzontale c’è attrito, i cui coefficienti valgono µS=µD=µ. L’oggetto viene spostato fino a comprimere la molla di ∆L=12µmg/k dopodiché esso viene lasciato libero di muoversi. Dire quante oscillazioni compie l’oggetto prima di fermarsi ed in che punto dell’asse x esso si ferma.
Salve
Per la seconda richiesta direi che, chiamato $ x^{\prime} $ il punto, di equilibrio stabile, in cui si trova l'oggetto all'inizio, prima della compressione $ DeltaL $, $ x^{\prime} $ sarà proprio il punto dove si fermerà la massa dopo aver compiuto le oscillazioni (a patto che la molla durante la compressione non venga deformata). Giusto?
Per la prima richiesta, so che il sistema è un'oscillatore armonico smorzato (causa attrito) e posso, impostando lo schema delle forze, conoscere l'accelerazione. A questo punto come faccio a trovare il numero di oscillazioni?
Salve
Per la seconda richiesta direi che, chiamato $ x^{\prime} $ il punto, di equilibrio stabile, in cui si trova l'oggetto all'inizio, prima della compressione $ DeltaL $, $ x^{\prime} $ sarà proprio il punto dove si fermerà la massa dopo aver compiuto le oscillazioni (a patto che la molla durante la compressione non venga deformata). Giusto?
Per la prima richiesta, so che il sistema è un'oscillatore armonico smorzato (causa attrito) e posso, impostando lo schema delle forze, conoscere l'accelerazione. A questo punto come faccio a trovare il numero di oscillazioni?
Risposte
Non e' propriamente un oscillatore armonico smorzato. L'OAS ha normalmente il termine di smorzamento in funzione della velocita', mentre qui l'attrito e' indipendente dalla velocita'.
In generale non si ferma nel punto di equilibrio (inteso come il pu to in cui la molla scarica) e non puoi parlare nemmeno di punto di equilibrio, perche non esiste un punto di equilibrio, ma un intervallo di equilibrio (basta che la deformazione della molla sia minore di $ $ +- $ (mumg)/k$ e il corpo resta in equilbrio, per esempio).
Detto questo, prova a risolverlo. Io userei il teorema delle forze vive, giusto per darti un inizio
In generale non si ferma nel punto di equilibrio (inteso come il pu to in cui la molla scarica) e non puoi parlare nemmeno di punto di equilibrio, perche non esiste un punto di equilibrio, ma un intervallo di equilibrio (basta che la deformazione della molla sia minore di $ $ +- $ (mumg)/k$ e il corpo resta in equilbrio, per esempio).
Detto questo, prova a risolverlo. Io userei il teorema delle forze vive, giusto per darti un inizio
Dunque dovrebbe essere questo il procedimento?
$ W=DeltaK $ dove $ W=W_(el)+W_(at) $ (el=elastico at=attrito) e $ DeltaK=1/2m(v_f^2-v_i^2) $ con $ v_i=0 $
$ W_(el)=1/2k(x_f^2-x_i^2) $ e $ W_(at)=F_(at)|Deltax| cos theta $ con $ |Deltax|=DeltaL $ e $ x_i=(-DeltaL) $
Se voglio la posizione finale cioè $ x_f $, devo imporre $ v_f=0 $
$ W=DeltaK $ dove $ W=W_(el)+W_(at) $ (el=elastico at=attrito) e $ DeltaK=1/2m(v_f^2-v_i^2) $ con $ v_i=0 $
$ W_(el)=1/2k(x_f^2-x_i^2) $ e $ W_(at)=F_(at)|Deltax| cos theta $ con $ |Deltax|=DeltaL $ e $ x_i=(-DeltaL) $
Se voglio la posizione finale cioè $ x_f $, devo imporre $ v_f=0 $
cosa e' quel $costheta$?
L'attrito e' costante $mumg$, nient'altro.
L'attrito e' costante $mumg$, nient'altro.
L'angolo tra la direzione del vettore spostamento e quella del vettore forza, che in questo caso essendo antiparalleli è $ pi $.
Mi sono scordato di specificarlo.
P.s. Il lavoro elastico è sbagliato, manca un $-$
Mi sono scordato di specificarlo.
P.s. Il lavoro elastico è sbagliato, manca un $-$
Non so cosa intendi per lavoro elastico,
Risolvi e trovi il risultato? La soluzione e' che, in questo caso fa 6 oscillazioni e si ferma proprio nel punto di riposo. Ma risolvi pero', faccelo vedere.
Risolvi e trovi il risultato? La soluzione e' che, in questo caso fa 6 oscillazioni e si ferma proprio nel punto di riposo. Ma risolvi pero', faccelo vedere.
Ma quello che ho scritto qua va bene?
Per lavoro elastico intendo quello fatto dalla molla, indicato con $ W_(el) $
Tra l'altro io ho scritto erroneamente $ W_(el)=1/2k(x_f^2-x_i^2) $ invece di $ W_(el)=-1/2k(x_f^2-x_i^2) $
"Mr.B":
Dunque dovrebbe essere questo il procedimento?
$ W=DeltaK $ dove $ W=W_(el)+W_(at) $ (el=elastico at=attrito) e $ DeltaK=1/2m(v_f^2-v_i^2) $ con $ v_i=0 $
$ W_(el)=1/2k(x_f^2-x_i^2) $ e $ W_(at)=F_(at)|Deltax| cos theta $ con $ |Deltax|=DeltaL $ e $ x_i=(-DeltaL) $
Se voglio la posizione finale cioè $ x_f $, devo imporre $ v_f=0 $
Per lavoro elastico intendo quello fatto dalla molla, indicato con $ W_(el) $
Tra l'altro io ho scritto erroneamente $ W_(el)=1/2k(x_f^2-x_i^2) $ invece di $ W_(el)=-1/2k(x_f^2-x_i^2) $
Non lo so, metti 7 lettere differenti.
Messa l'origine del sistema di riferimento nel punto in cui la molla e' scarica, indicata con $delta$ la posizione di caricamento e l'asse x orientato in modo che la posizione a molla carica sia $-delta$, io scriverei direttamente
$1/2kdelta^2=1/2kx_f^2+mumg(delta+x_f)$. Da cui ricavi la $x_f$
Messa l'origine del sistema di riferimento nel punto in cui la molla e' scarica, indicata con $delta$ la posizione di caricamento e l'asse x orientato in modo che la posizione a molla carica sia $-delta$, io scriverei direttamente
$1/2kdelta^2=1/2kx_f^2+mumg(delta+x_f)$. Da cui ricavi la $x_f$
Cambiano le lettere ma è quello che avevo scritto io, ad eccezione del fatto che ho scritto (per il lavoro della forza di attrito), sbagliando, $ |Deltax|=DeltaL $ invece di $ |Deltax|=(x_f-x_i)=(x_f+DeltaL)=(DeltaL+x_f) $ o come scrivi tu $ (delta+x_f) $
Ciò che non comprendo ancora è come fare a trovare il numero di oscillazioni
Ciò che non comprendo ancora è come fare a trovare il numero di oscillazioni
O te le conti, reimpostando l'equazione ad ogni fermata (cioe, parte da 12 e si ferma a x=11.5, riparte da x=11.5 e si ferma a x=3, riparte da 3 e si ferma a 1.2 etc etc)
Oppure costruisci la serie delle fermate in generale. Io ho fatto cosi.
Oppure costruisci la serie delle fermate in generale. Io ho fatto cosi.
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