Oscillazione di una spira in un campo magnetico
Buongiorno,
una spira percorsa da corrente dovrebbe compiere delle oscillazioni approssimabili ad un moto armonico in un campo magnetico
Si sa che
$\vecM=\vecmxx\vecB$
E che
$\vecM=(d\vecL)/dt=I\vecalpha$
Quindi
$\vecmxx\vecB=I\vecalpha$
Da cui
$mBsintheta=Ialpha=I(d^2theta)/dt^2$
Per piccole oscillazioni vale che $sintheta=theta$, quindi
$mBtheta=I(d^2theta)/dt^2->(d^2theta)/dt^2-(mB)/Itheta=0$
Che non è l'equazione di un moto armonico ($(d^2x)/dt^2+kx=0$)
Non capisco cosa sbaglio. Sul libro da cui studio viene introdotto un segno meno (viene riportato $M=-mBsintheta$) che però non riesco sa giustificare formalmente. Sul libro sta scritto che il meno è dovuto al fatto che la forza sia di richiamo, ma questa non mi sembra una giustificazione formale ma qualitativa. Il momento dovrebbe essere $M=mBsintheta$. D'altronde $\vecM$ e $\vecalpha$ hanno lo stesso verso. Non riesco proprio a capire da dove esca quel meno. Spero di essermi spiegato al meglio.
Grazie in anticipo a chi risponderà
una spira percorsa da corrente dovrebbe compiere delle oscillazioni approssimabili ad un moto armonico in un campo magnetico
Si sa che
$\vecM=\vecmxx\vecB$
E che
$\vecM=(d\vecL)/dt=I\vecalpha$
Quindi
$\vecmxx\vecB=I\vecalpha$
Da cui
$mBsintheta=Ialpha=I(d^2theta)/dt^2$
Per piccole oscillazioni vale che $sintheta=theta$, quindi
$mBtheta=I(d^2theta)/dt^2->(d^2theta)/dt^2-(mB)/Itheta=0$
Che non è l'equazione di un moto armonico ($(d^2x)/dt^2+kx=0$)
Non capisco cosa sbaglio. Sul libro da cui studio viene introdotto un segno meno (viene riportato $M=-mBsintheta$) che però non riesco sa giustificare formalmente. Sul libro sta scritto che il meno è dovuto al fatto che la forza sia di richiamo, ma questa non mi sembra una giustificazione formale ma qualitativa. Il momento dovrebbe essere $M=mBsintheta$. D'altronde $\vecM$ e $\vecalpha$ hanno lo stesso verso. Non riesco proprio a capire da dove esca quel meno. Spero di essermi spiegato al meglio.
Grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
Tutto dipende da come viene considerato quell'angolo $\theta$.
Se non posti un'immagine delle convenzioni adottate nella geometria del problema è impossibile risponderti.
Ad ogni modo, ipotizzando che $\theta$ sia l'angolo fra $\vec B$ e $\vec m$, giacenti per esempio sul quadrante yz, il momento meccanico $\vec M$, in queste ipotesi, parallelo a $\hat x$, sarà sempre tale da ridurre $\theta$ e di conseguenza l'accelerazione angolare sarà negativa.
Se non posti un'immagine delle convenzioni adottate nella geometria del problema è impossibile risponderti.
Ad ogni modo, ipotizzando che $\theta$ sia l'angolo fra $\vec B$ e $\vec m$, giacenti per esempio sul quadrante yz, il momento meccanico $\vec M$, in queste ipotesi, parallelo a $\hat x$, sarà sempre tale da ridurre $\theta$ e di conseguenza l'accelerazione angolare sarà negativa.
Sì $theta$ è l'angolo fra $\vecm$ e $\vecB$. Ma l'equazione del moto armonico dovrebbe essere sempre quella. I vettori sono quelli in qualsiasi sistema di riferimento e $\vecalpha$ e $\vecM$ dovrebbero avere lo stesso verso. Non riesco a capire. Ti allego una foto del disegno che sta sul libro
Come dicevo, se quello è l'angolo
$\vecM= -I\vecalpha$
No, hanno versi opposti.
$\vecM= -I\vecalpha$
"Damiano77":
... D'altronde $\vecM$ e $\vecalpha$ hanno lo stesso verso.
No, hanno versi opposti.
Potresti spiegarmi perchè?
Il momento angolare viene definito come $\vecL=I\vecomega$. Quindi dovrebbe essere $\vecM=(d\vecL)/dt=I\vecalpha$
Il momento angolare viene definito come $\vecL=I\vecomega$. Quindi dovrebbe essere $\vecM=(d\vecL)/dt=I\vecalpha$
Ok, possiamo vederla anche in quel modo, ora però scrivi $\vec \omega$ e $\vec \alpha$ in funzione dell'angolo $\theta$.
Puoi per esempio ipotizzare $\vecM =M \hat z=m B \sin\theta \ \hat z $, con asse z verticale corrispondente all'asse di rotazione della spira.
Puoi per esempio ipotizzare $\vecM =M \hat z=m B \sin\theta \ \hat z $, con asse z verticale corrispondente all'asse di rotazione della spira.
Se scrivo $alpha$ come $f(theta)$ allora
$alpha=(mB)/I*theta$
Considerato un riferimento destrorso con l'asse delle x parallelo al campo e l'asse delle z parallelo all'asse di rotazione, questa equazione mi dice che $alpha$ è negativo (dato che $theta$ lo è) . In realtà è positivo perchè $\vecalpha$ è concorde con $\vecM$. Avendo $\vecM$ verso concorde con quello dell'asse z, la componente $M$ è positiva. Di conseguenza anche la componente $alpha$ deve essere positiva. Allora devo aggiungere un meno
$alpha=-(mB)/I*theta$
È giusto il ragionamento?
$alpha=(mB)/I*theta$
Considerato un riferimento destrorso con l'asse delle x parallelo al campo e l'asse delle z parallelo all'asse di rotazione, questa equazione mi dice che $alpha$ è negativo (dato che $theta$ lo è) . In realtà è positivo perchè $\vecalpha$ è concorde con $\vecM$. Avendo $\vecM$ verso concorde con quello dell'asse z, la componente $M$ è positiva. Di conseguenza anche la componente $alpha$ deve essere positiva. Allora devo aggiungere un meno
$alpha=-(mB)/I*theta$
È giusto il ragionamento?
Intendevo dire che, scegliendo quell'angolo, avrai
$\vec \omega=-\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\ \hat z$
$\vec \alpha=-\frac{\text{d}^2 \theta}{\text{d} t^2} \ \hat z$
$\vec \omega=-\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\ \hat z$
$\vec \alpha=-\frac{\text{d}^2 \theta}{\text{d} t^2} \ \hat z$
Non riesco ancora a capire perché dici che velocità ed accelerazione abbiano verso negativo rispetto al riferimento considerato
Scritte così,
$\vec \omega= \frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\ (-\hat z)$
$\vec \alpha= \frac{\text{d}^2 \theta}{\text{d} t^2} \ (-\hat z)$
ti sembra più chiaro
$\vec \omega= \frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\ (-\hat z)$
$\vec \alpha= \frac{\text{d}^2 \theta}{\text{d} t^2} \ (-\hat z)$
ti sembra più chiaro
Ma il versore $\hatz$ è rivolto nel verso dell'asse di rotazione? A me sembra che accelerazione e velicità abbiano stesso verso del momento nel disegno. Scusami, mi sa che non sto capendo qualcosa
Ti chiedo: una velocità angolare $\omega$ positiva con lo stesso verso del momento, porterebbe ad un incremento o ad un decremento di quell'angolo $\theta \ $ ?
Ad un incremento e dovrebbe essere ciò che sta avvenendo nell'immagine perchè l'angolo è negativo nel sistema di riferimento considerato
Eh no, quello è l'angolo $\theta$, è stato scelto in quel modo, e andrà ad essere decrementato; non dobbiamo andare a fare considerazioni sul suo segno perché queste andrebbero a ripercuotersi su velocità e accelerazione angolare, portando semplicemente al chaos algebrico differenziale. 
aaaaaa ok ho capito grazie mille 
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