Oscillatore smorzato, piccolo chiarimento

[smaug1]

Siamo in presenza di resistenza viscosa.

Sull'asse x puntato verso destra abbiamo che:

$m\ddot x + b \dotx + kx = 0$ che per risolverla mi diventa questa $mr^2 + br + k = 0$

Quindi $r_{1,2} = (- b \pm \sqrt{b^2 - 4km})/ (2m)$

Studiamo solo il caso in cui $b^2 < 4km$ il che vuol dire che sotto la radice c'è un numero negativo, e le soluzioni saranno complesse e coniugate: (Qui però non mi ritrovo con quello che dice il libro, circa il segno, e poi sull'espressione finale):

Il libro dice $r_{1,2} = - b/(2m) \pm i \omega^{\prime}$ con $\omega^{\prime} = \sqrt{k/m - b^2 / (4m^2)}$ (l'argomento della radice ha segno cambiato...)

E poi non capisco perchè la soluzione dell'equazione sia così:

$x(t) = C_1 \exp{r_1t} + C_2\exp{r_2t}$

Quello che mi chiedo è: se le soluzioni sono complesse, la soluzione non è del tipo: $x(t) = C_1 e^{x \alpha} \sin \beta x....$ con $r = \alpha \pm i \beta$

Mi servirebbe un piccolo chiarimento

[dissonance]

Sono due rappresentazioni diverse dello stesso integrale generale. Si passa dalla

\[x(t)=C_1e^{r_1 t}+C_2e^{r_2 t}\]

all'altra mediante l'identità di Eulero

\[e^{s+it}=e^s(\cos\, t + i \sin\, t).\]

La notazione esponenziale è più conveniente a livello di calcoli.

[smaug1]

grazie mille!

[dissonance]

Prego. Ti posso suggerire di dare un'occhiata al libro di Feynman Lectures on Physics, primo volume, capitolo sull'oscillatore armonico (credo - sto andando a memoria). Spiega in modo molto bello i benefici per la fisica della notazione esponenziale. Il libro esiste anche in italiano col titolo La fisica di Feynman.

[smaug1]

Per curiosità l'identità di Eulero, in quale esame si può studiare?

[smaug1]

Scusami rivedendo gli appunti non riesco a capire una cosa. Il prof appena ha scritto ciò, ha contnuato dicendo che $C_1*C_2 = A^2/4$ e $c_1/c_2 = e^{12}\phi $ perchè?

$x(t) = e^{-b/mt} A * \cos (\omegat + phi)$

Mi dai una mano per capire? Grazie

[dissonance]

Ha scritto l'integrale generale in un'altra forma ancora. Nella nuova formula le costanti arbitrarie sono \(A\) e \(\phi\) e sono legate alle precedenti \(C_1, C_2\) dalle formule che hai scritto nel primo rigo. Si tratta solo di operare quella sostituzione e fare i conti.

[smaug1]

Vorrei chiederti $e^{12}$ cosa rappresenta?

grazie mille

[alle.fabbri]

"smaug":Per curiosità l'identità di Eulero, in quale esame si può studiare?

Analisi 1 direi...

[smaug1]

"alle.fabbri": Analisi 1 direi...

Ah si? Il mio prof non ne ha mai parlato! (faccio ingegneria...)

[dissonance]

"smaug":Vorrei chiederti $e^{12}$ cosa rappresenta?

grazie mille

Boh, sarà un modo un po' infelice di indicare una costante. O più probabilmente hai sbagliato a scrivere. Fai un po' di prove per capire la giusta sostituzione da effettuare. Ricorda che

\[\cos(\omega t + \phi)= \frac{e^{i (\omega t+ \phi)} + e^{-i(\omega t +\phi)}}{2}=\frac{e^{i\phi}e^{i \omega t}+e^{-i\phi}e^{- i \omega t}}{2}.\]

[smaug1]

Riprendendo l'equazione differenziale

\[m\ddot x + b\dot x+ kx = 0 \]

Abbiamo detto che posso essere studiati i tre casi in cui il $\Delta$ dell'equazione algebrica associata sia $>,<,= 0$

Allora ho in mente cosa succede, cioè le oscillazione saranno sempre minori a causa di una resistenza all'avanzamento, che ne fa diminuire l'ampiezza.

Ecco io fisicamente in concetti semplici non ho capito cosa accade nei tre casi. Mi aiutare?

\[\Delta< 0\ -> b^2 < 4mk\]

\[\Delta> 0\ -> b^2 > 4mk\]

\[\Delta= 0\ -> b^2 = \sqrt{4mk}\]

Ma in pratica cosa accade?

Grazie mille