Oscillatore armonico unidimensionale
Amici, ho un problema che fa:
"Un oscillatore armonico di massa $m$ e frequenza $\omega$ è descritto al tempo iniziale $t=0$ da una funzione d'onda tale che la probabilità di trovare come risultato dell' energia valori corrispondenti ai primi due livelli è $1/2$ ed è $0$ in tutti gli altri casi.
Sapendo che il valore medio della posizione per $t=0$ assume il valore massimo possibile, valutare il valore medio della quantità di moto in funzione del tempo."
Io scriverei il generico stato all' istante $t=0$ nella forma: $psi= a|0> + b|1>$
Siccome le probabilità sono $1/2$ per ciascuno stato, porrei sia $a$ che $b$ uguali a $sqrt(1/2)$, è corretto?
Per la seconda parte del problema bisogna calcolare il valore medio di x, so che dovrei fare il prodotto scalare $$ però ho il sentore che non sia necessario fare questa operazione, dovrei saperlo "a botta"?
C'entra il principio di indeterminazione?
Inoltre so che il prodotto scalare scritto sopra è più semplice da svolgere usando gli stati coerenti $phi(\lambda)$ cioè gli autovettori dell' operatore distruzione $a$ con autovalori $\lambda$.
Vale infatti che $ = Re(\lambda)$ a meno di qualche costante...
Ma non so dove mi porta tutto questo e soprattutto non so come rispondere alla domanda...
E' dura studiare la meccanica quantistica da soli e c'è tanta confusione, siate pazienti please
"Un oscillatore armonico di massa $m$ e frequenza $\omega$ è descritto al tempo iniziale $t=0$ da una funzione d'onda tale che la probabilità di trovare come risultato dell' energia valori corrispondenti ai primi due livelli è $1/2$ ed è $0$ in tutti gli altri casi.
Sapendo che il valore medio della posizione per $t=0$ assume il valore massimo possibile, valutare il valore medio della quantità di moto in funzione del tempo."
Io scriverei il generico stato all' istante $t=0$ nella forma: $psi= a|0> + b|1>$
Siccome le probabilità sono $1/2$ per ciascuno stato, porrei sia $a$ che $b$ uguali a $sqrt(1/2)$, è corretto?
Per la seconda parte del problema bisogna calcolare il valore medio di x, so che dovrei fare il prodotto scalare $
C'entra il principio di indeterminazione?
Inoltre so che il prodotto scalare scritto sopra è più semplice da svolgere usando gli stati coerenti $phi(\lambda)$ cioè gli autovettori dell' operatore distruzione $a$ con autovalori $\lambda$.
Vale infatti che $
Ma non so dove mi porta tutto questo e soprattutto non so come rispondere alla domanda...
E' dura studiare la meccanica quantistica da soli e c'è tanta confusione, siate pazienti please
Risposte
Con $h$ intenderò sempre h tagliato
Il risultato che hai trovato della funzione d'onda al tempo $t=0$ è solo casualmente giusto. La funzione d'onda corretta è, infatti, definita a meno di un esponenziale complesso che non cambia la probabilità.
$ psi= sqrt(1/2)|0> + sqrt(1/2)e^(idelta)|1> $
La seconda parte del problema ti permette di definire in modo arbitrario la fase di tale esponenziale. Quindi devi calcolare il prodotto scalare. L'operatore posizione lo possiamo scrivere come $x=sqrt(h/(2mw))(a_++a_-)$
Teniamo subito conto dell'ortogonalità della base e ignoriamo tutte le autofunzioni che non siano $0,1$
$x|psi> =sqrt(h/(2mw))(sqrt(1/2)|1>+ sqrt(1/2)e^(idelta)|0>) $
$ =1/2e^(idelta)+1/2e^(-idelta)=cosdelta$
Risulta che $delta=0$ poiché deve assumere il valore massimo possibile.
La funzione d'onda sarà quindi
$ psi= sqrt(1/2)|0> + sqrt(1/2)|1> $
Procediamo adesso con l'evoluzione temporale che è immediata in quanto sono già note le energie di un oscillatore armonico. Per $0$ avremmo $E_0=1/2wh$ per $1$ avremmo $E_1=3/2hw$
$ psi(t)= sqrt(1/2)e^(-E_0/ht)|0> + sqrt(1/2)e^(-E_1/ht)|1> = sqrt(1/2)e^(-1/2wt)|0> + sqrt(1/2)e^(-3/2wt)|1> $
Adesso per calcolare il valore medio di $p$ in funzione del tempo basta fare il prodotto scalare
$$
dove $p=sqrt((hmw)/(2))(a_++a_-)$
Ricontrolla i calcoli che ho fatto (sono pochi ma li ho fatti veloci, non si sa mai) comunque il procedimento standard è questo. Il principio di indeterminazione non si può usare a priori perché è una diseguaglianza (forse per l'oscillatore funziona sempre, non ricordo, prova. Tuttavia ti serve determinare il valor medio di $x(t)$). Un modo intelligente di agire è invece utilizzare il teorema del viriale, ma lo stesso ti serve $x(t)$.
C'è di peggio dai. Ti conviene scaricarti tantissimi esercizi svolti secondo me. Se te ne servono dimmelo, magari te li posso inviare.
Il risultato che hai trovato della funzione d'onda al tempo $t=0$ è solo casualmente giusto. La funzione d'onda corretta è, infatti, definita a meno di un esponenziale complesso che non cambia la probabilità.
$ psi= sqrt(1/2)|0> + sqrt(1/2)e^(idelta)|1> $
La seconda parte del problema ti permette di definire in modo arbitrario la fase di tale esponenziale. Quindi devi calcolare il prodotto scalare. L'operatore posizione lo possiamo scrivere come $x=sqrt(h/(2mw))(a_++a_-)$
Teniamo subito conto dell'ortogonalità della base e ignoriamo tutte le autofunzioni che non siano $0,1$
$x|psi> =sqrt(h/(2mw))(sqrt(1/2)|1>+ sqrt(1/2)e^(idelta)|0>) $
$
Risulta che $delta=0$ poiché deve assumere il valore massimo possibile.
La funzione d'onda sarà quindi
$ psi= sqrt(1/2)|0> + sqrt(1/2)|1> $
Procediamo adesso con l'evoluzione temporale che è immediata in quanto sono già note le energie di un oscillatore armonico. Per $0$ avremmo $E_0=1/2wh$ per $1$ avremmo $E_1=3/2hw$
$ psi(t)= sqrt(1/2)e^(-E_0/ht)|0> + sqrt(1/2)e^(-E_1/ht)|1> = sqrt(1/2)e^(-1/2wt)|0> + sqrt(1/2)e^(-3/2wt)|1> $
Adesso per calcolare il valore medio di $p$ in funzione del tempo basta fare il prodotto scalare
$
dove $p=sqrt((hmw)/(2))(a_++a_-)$
Ricontrolla i calcoli che ho fatto (sono pochi ma li ho fatti veloci, non si sa mai) comunque il procedimento standard è questo. Il principio di indeterminazione non si può usare a priori perché è una diseguaglianza (forse per l'oscillatore funziona sempre, non ricordo, prova. Tuttavia ti serve determinare il valor medio di $x(t)$). Un modo intelligente di agire è invece utilizzare il teorema del viriale, ma lo stesso ti serve $x(t)$.
E' dura studiare la meccanica quantistica da soli
C'è di peggio dai. Ti conviene scaricarti tantissimi esercizi svolti secondo me. Se te ne servono dimmelo, magari te li posso inviare.
"Spremiagrumi":
Ricontrolla i calcoli che ho fatto (sono pochi ma li ho fatti veloci, non si sa mai) comunque il procedimento standard è questo. Il principio di indeterminazione non si può usare a priori perché è una diseguaglianza (forse per l'oscillatore funziona sempre, non ricordo, prova. Tuttavia ti serve determinare il valor medio di $x(t)$). Un modo intelligente di agire è invece utilizzare il teorema del viriale, ma lo stesso ti serve $x(t)$.
E' dura studiare la meccanica quantistica da soli
C'è di peggio dai. Ti conviene scaricarti tantissimi esercizi svolti secondo me. Se te ne servono dimmelo, magari te li posso inviare.
Oh my gosh... Non ti conosco ma ti amo
in effetti mi servirebbe proprio una serie di esercizi svolti, davvero puoi passarmeli?
Non immagini nemmeno che mano mi dai!
Grazie per l' esercizio, ora controllo i procedimenti passo passo e ti faccio sapere se ne becco qualcuno che non capisco
Posterei i link qui ma non ricordo più dove li ho presi, se mi mandi un messaggio privato con la mail te li invio oggi stesso. Vale anche per altri utenti naturalmente.
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