Oscillatore armonico relativistico

[ludwigZero]

Salve
Ho trovato questo esercizio e vorrei vedere se la mia risoluzione regge.



riscrivo così l'hamiltoniana:

$H = sqrt(m^2 c^4 + p^2 c^2) + 1/2 m \omega^2 x^2$

dove:
$sqrt(m^2 c^4 + p^2 c^2) = sqrt(m^2 c^4 (1+ p^2/(m^2 c^2))) = m c^2 sqrt(1 + (p/(m c))^2) =$

$= m c^2 (1+ 1/2 p^2/(m^2 c^2) - 1/8 p^4/(m^3 c^2)) = m c^2 + 1/2 p^2/m - 1/8 p^4/(m^3 c^2)$

trascurando $ m c^2$, l'hamiltoniana la scrivo quindi come:

$H = H_0 + \epsilon H_1$

dove:
$H_0 = 1/2 p^2/m + 1/2 m \omega^2 x^2$
$H_1 = - 1/8 p^4/(m^3 c^2)$

e fin qui spero sia tutto ok.
Il mio problema è proprio arrivare alla correzione dei livelli energetici, qualche spunto?

Io vorrei calcolare l'elemento di matrice:
$[H_1]_(r,0) = = $
per $r = 0$
se è nullo, allora andrò a $r=1$ e così via

[Light_1]

Il mio problema è proprio arrivare alla correzione dei livelli energetici, qualche spunto

Puoi sfruttare il fatto che

$ p=sqrt((mhomega)/(4pi))i(a^++a) $

dove $ a^+,a $ sono gli operatori di creazione e distruzione.

[Light_1]

Vediamo un po , allora abbiamo

$ H_r^{\prime}=-(p^4)/(8m^3c^2 $

dunque la correzione al primo ordine è data dal valore di aspettazione di $ H_r^{\prime}$ nello stato imperturbato:

$ E_r^{\prime}= = -1/(8m^3c^2) $

per l'equazione di Schrodinger hai che

$ p^2psi=2m(E-V)psi $ quindi

$ E_r^{\prime}= -1/(2m^3c^2)[E^2-2E+] $

dove $ E=(n+1/2)(homega)/(2pi),$ e $V=1/2momega^2x^2 $ allora

$ E_r^{\prime}= -1/(2m^3c^2)[(n+1/2)^2h_t^2omega^2-2(n+1/2)h_t omega1/2momega^2+1/4m^2omega^4] $

ma $ =(n+1/2)(h_t)/(momega) $ e allora

$ E_r^{\prime}=-(momega^4)/(8c^2) $ adesso usi gli operatori creazione e distruzione , infatti

$ x^4=h_t^2/(4m^2omega^2)[a_+^2+(a_+a_-)+(a_-)(a_+)+a_-^2][a_+^2+(a_+a_-)+(a_-)(a_+)+a_-^2] $

E qui bisogna fare conti su conti...