Oscillatore armonico quantistico
Ciao a tutti!
Ho questo problema in cui mi sono bloccato sull'oscillatore armonico quantistico.
Si ha un oscillatore armonico quantistico unidimensionale avente Hamiltoniana: $H=\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2$.
Si ha uno stato $|\psi>$ definito come: $|\psi> = c_1|\psi_1> + c_2|\psi_2>$ e in più conosco le probabilità relative di ogni autostato, ovvero:
$|c_1|^2 = \frac{3}{4}; \quad |c_2|^2=\frac{1}{4}$
Il testo dice la seguente frase: "si sa poi che la distribuzione di probabilità nello stato $|\psi>$ è autofunzione dell'operatore parità" e si chiede di scrivere la forma più generale dello stato $|\psi>$ con questa condizione.
Non capisco come possa essere soddisfatta quella condizione, infatti se vado a calcolare $|\psi|^2$ risulta essere composta da due pezzi pari, ovvero $|psi_1|^2$ e $|\psi_2|^2$, ma anche da un pezzo dispari, cioè: $\psi_1\psi_2(c_1\bar{c_2} + c_2\bar{c_1})$, ove indico $\bar{z}$ il complesso coniugato di $z$. L'ultimo pezzo si può scrivere così perché le autofunzioni dell'oscillatore armonico unidimensionale sono reali.
Quindi la mia domanda è: come può questo stato $|psi>$ rispettare quella condizione con l'operatore parità?
Ho questo problema in cui mi sono bloccato sull'oscillatore armonico quantistico.
Si ha un oscillatore armonico quantistico unidimensionale avente Hamiltoniana: $H=\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2$.
Si ha uno stato $|\psi>$ definito come: $|\psi> = c_1|\psi_1> + c_2|\psi_2>$ e in più conosco le probabilità relative di ogni autostato, ovvero:
$|c_1|^2 = \frac{3}{4}; \quad |c_2|^2=\frac{1}{4}$
Il testo dice la seguente frase: "si sa poi che la distribuzione di probabilità nello stato $|\psi>$ è autofunzione dell'operatore parità" e si chiede di scrivere la forma più generale dello stato $|\psi>$ con questa condizione.
Non capisco come possa essere soddisfatta quella condizione, infatti se vado a calcolare $|\psi|^2$ risulta essere composta da due pezzi pari, ovvero $|psi_1|^2$ e $|\psi_2|^2$, ma anche da un pezzo dispari, cioè: $\psi_1\psi_2(c_1\bar{c_2} + c_2\bar{c_1})$, ove indico $\bar{z}$ il complesso coniugato di $z$. L'ultimo pezzo si può scrivere così perché le autofunzioni dell'oscillatore armonico unidimensionale sono reali.
Quindi la mia domanda è: come può questo stato $|psi>$ rispettare quella condizione con l'operatore parità?
Risposte
scusa, sarò poco lucido a quest'ora, ma non ti seguo. come fai a dire che l'ultimo pezzo che scrivi è dispari? intendi parità spaziale $\psi(x) = \psi(-x)$ o qualcos'altro che mi sfugge?
Non stai usando la definizione corretta di parità, che è appunto quella che dice wedge.
Una funzione $\psi(x)$ è autostato della parità se $P\psi(x) = \psi(-x) = \lambda \psi(x)$, dove $\lambda = \pm 1$ (caso pari e dispari).
Il pezzo che chiami dispari non deve esserci, visto che le autofunzioni dell'oscillatore armonico sono ortogonali.
Devi solo usare il fatto noto che le autofunzioni dell'oscillatore armonico $\psi_n(x) = H_n(x)$ sono i polinomi di Hermite, che hanno la proprietà di essere pari per $n$ pari e dispari per $n$ dispari (vedi qui). Noto questo fatto dovrebbe essere semplice fare quello che chiede l'esercizio.
Una funzione $\psi(x)$ è autostato della parità se $P\psi(x) = \psi(-x) = \lambda \psi(x)$, dove $\lambda = \pm 1$ (caso pari e dispari).
Il pezzo che chiami dispari non deve esserci, visto che le autofunzioni dell'oscillatore armonico sono ortogonali.
Devi solo usare il fatto noto che le autofunzioni dell'oscillatore armonico $\psi_n(x) = H_n(x)$ sono i polinomi di Hermite, che hanno la proprietà di essere pari per $n$ pari e dispari per $n$ dispari (vedi qui). Noto questo fatto dovrebbe essere semplice fare quello che chiede l'esercizio.
Vi ringrazio per le risposte intanto.
L'obiezione che mi avete fatto è più che giusta, tanto è vero che all'inizio io stesso ho provato a risolverlo così. Poi però ho pensato che la funzione densità di probabilità di $|\psi>$ non la scrivo con la notazione di Dirac, ovvero $<\psi|\psi>$, poiché in quella scrittura è intrinseco l'integrale della funzione $\psi$; ma invece io uso l'integrando di quella, ovvero $|\psi (x)|^2 dq$ (il $dq$ mi serve scriverlo qui solo per essere più chiaro). Quindi, rispondendo a wedge, uso la parità spaziale perché sto considerando quella funzione lì.
A questo punto se vado a fare $<\psi_1|\psi_2> = 0$, come dice Eredir, ma se invece considero l'integrando, ovvero $\bar{\psi_1} \psi_2$ questo non direi che lo posso togliere.
Sto sbagliando tutto? Ammetto che il mio prof. sulla parità ha fatto molta confusione quindi io non so bene quanto ho le idee chiare.
L'obiezione che mi avete fatto è più che giusta, tanto è vero che all'inizio io stesso ho provato a risolverlo così. Poi però ho pensato che la funzione densità di probabilità di $|\psi>$ non la scrivo con la notazione di Dirac, ovvero $<\psi|\psi>$, poiché in quella scrittura è intrinseco l'integrale della funzione $\psi$; ma invece io uso l'integrando di quella, ovvero $|\psi (x)|^2 dq$ (il $dq$ mi serve scriverlo qui solo per essere più chiaro). Quindi, rispondendo a wedge, uso la parità spaziale perché sto considerando quella funzione lì.
A questo punto se vado a fare $<\psi_1|\psi_2> = 0$, come dice Eredir, ma se invece considero l'integrando, ovvero $\bar{\psi_1} \psi_2$ questo non direi che lo posso togliere.
Sto sbagliando tutto? Ammetto che il mio prof. sulla parità ha fatto molta confusione quindi io non so bene quanto ho le idee chiare.
"Morpheus":
Vi ringrazio per le risposte intanto.
L'obiezione che mi avete fatto è più che giusta, tanto è vero che all'inizio io stesso ho provato a risolverlo così. Poi però ho pensato che la funzione densità di probabilità di $|\psi>$ non la scrivo con la notazione di Dirac, ovvero $<\psi|\psi>$, poiché in quella scrittura è intrinseco l'integrale della funzione $\psi$; ma invece io uso l'integrando di quella, ovvero $|\psi (x)|^2 dq$ (il $dq$ mi serve scriverlo qui solo per essere più chiaro). Quindi, rispondendo a wedge, uso la parità spaziale perché sto considerando quella funzione lì.
A questo punto se vado a fare $<\psi_1|\psi_2> = 0$, come dice Eredir, ma se invece considero l'integrando, ovvero $\bar{\psi_1} \psi_2$ questo non direi che lo posso togliere.
Sto sbagliando tutto? Ammetto che il mio prof. sulla parità ha fatto molta confusione quindi io non so bene quanto ho le idee chiare.
Non avevo capito inizialmente, ma ora vedo il motivo per cui inserivi quel pezzo. Puoi fare anche così, ma secondo me ti stai solo complicando la vita.
Infatti come ti dicevo è immediato da $\psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2$ concludere che $P \psi = \lambda \psi$ solo se $\psi_1$ e $\psi_2$ hanno entrambi la stessa parità.
Puoi guardare la parità anche dal punto di vista di $|\psi|^2$, poichè anche per questo dobbiamo avere parità definita.
Poichè chiaramente $|\psi_1|^2$ e $|\psi_2|^2$ sono pari allora dobbiamo avere che anche $\psi_1 \psi_2 (c_1\bar{c_2} + c_2\bar{c_1})$ deve essere pari.
Questo è possibile solo se $\psi_1$ e $\psi_2$ hanno la stessa parità: infatti in questo caso $\psi_1(-x) \psi_2(-x) = \psi_1(x) \psi_2(x)$ nel caso pari e $\psi_1(-x) \psi_2(-x) = (-\psi_1(x)) (-\psi_2(x)) = \psi_1(x) \psi_2(x)$ nel caso dispari.
Esattamente come dici tu Eredir! Anch'io direi che la [tex]|\psi(x)|^2[/tex] è autofunzione della parità se e solo se gli autostati da cui è composta hanno la stessa parità. In particolare, come dici tu, se e solo se la [tex]|\psi_1>[/tex] e la [tex]|\psi_2>[/tex] hanno la stessa parità.
Ma come è possibile che ciò avvenga?!? Cioè: nell'oscillatore armonico unidimensionale la parità degli autostati va come [tex](-1)^n[/tex], questo ovviamente perché gli autostati hanno la loro parità determinata dai polinomi di Hermite. Allora [tex]\psi_1(-x) = -\psi_1(x)[/tex] mentre [tex]\psi_2(-x) = \psi_2(x)[/tex], quindi la loro composizione sarà dispari, ovvero:
[tex](\psi_1\psi_2)(-x) = -(\psi_1\psi_2)(x)[/tex]
e ciò mi da molto fastidio poiché gli altri due pezzi che ho in [tex]|\psi(x)|^2[/tex] sono pari.
Ho anche pensato di dire questo: se voglio che la [tex]|\psi(x)|^2[/tex] abbia parità definita, l'unico modo è mandare a 0 quel termine e cioè:
[tex]|\psi(x)|^2 = |\psi_1(x)|^2 + |\psi_2(x)|^2 + (c_1\overline{c_2} + \overline{c_1}c_2)\psi_1\psi_2(x)[/tex] è autofunzione della parità se e solo se [tex]c_1\overline{c_2} + \overline{c_1}c_2 = 0[/tex]
Ciò mi darebbe una condizione su [tex]c_1[/tex] e [tex]c_2[/tex] (o meglio, tra di loro e i loro rispettivi complessi coniugati), che alla fine sembra anche essere quello che mi richiede il mio esercizio. Però vi sembra sensata una cosa del genere? A me non convince molto il tutto. Mi sembra di stare a fare dei giri assurdi.
Anche perché tradurre quella equazione in una condizione tra i coefficienti [tex]c_1[/tex] e [tex]c_2[/tex], senza i loro complessi coniugati, non è banale. A riguardo cito la risposta di gugo82 al topic che ho creato in cui chiedevo una mano su questo problema (il topic si chiama "Dubbio sui numeri complessi" e in questo caso [tex]z[/tex] e [tex]w[/tex] sono due numeri complessi qualsiasi):
Sinceramente non so se la strada corretta da seguire è quindi annullare quel termine e avere una condizione simile su [tex]c_1[/tex] e [tex]c_2[/tex] oppure il discorso da fare può essere un altro.
Ma come è possibile che ciò avvenga?!? Cioè: nell'oscillatore armonico unidimensionale la parità degli autostati va come [tex](-1)^n[/tex], questo ovviamente perché gli autostati hanno la loro parità determinata dai polinomi di Hermite. Allora [tex]\psi_1(-x) = -\psi_1(x)[/tex] mentre [tex]\psi_2(-x) = \psi_2(x)[/tex], quindi la loro composizione sarà dispari, ovvero:
[tex](\psi_1\psi_2)(-x) = -(\psi_1\psi_2)(x)[/tex]
e ciò mi da molto fastidio poiché gli altri due pezzi che ho in [tex]|\psi(x)|^2[/tex] sono pari.
Ho anche pensato di dire questo: se voglio che la [tex]|\psi(x)|^2[/tex] abbia parità definita, l'unico modo è mandare a 0 quel termine e cioè:
[tex]|\psi(x)|^2 = |\psi_1(x)|^2 + |\psi_2(x)|^2 + (c_1\overline{c_2} + \overline{c_1}c_2)\psi_1\psi_2(x)[/tex] è autofunzione della parità se e solo se [tex]c_1\overline{c_2} + \overline{c_1}c_2 = 0[/tex]
Ciò mi darebbe una condizione su [tex]c_1[/tex] e [tex]c_2[/tex] (o meglio, tra di loro e i loro rispettivi complessi coniugati), che alla fine sembra anche essere quello che mi richiede il mio esercizio. Però vi sembra sensata una cosa del genere? A me non convince molto il tutto. Mi sembra di stare a fare dei giri assurdi.
Anche perché tradurre quella equazione in una condizione tra i coefficienti [tex]c_1[/tex] e [tex]c_2[/tex], senza i loro complessi coniugati, non è banale. A riguardo cito la risposta di gugo82 al topic che ho creato in cui chiedevo una mano su questo problema (il topic si chiama "Dubbio sui numeri complessi" e in questo caso [tex]z[/tex] e [tex]w[/tex] sono due numeri complessi qualsiasi):
"gugo82":
Moltiplicando m.a.m. per [tex]$-z\ \overline{w}$[/tex] trovi [tex]$-|z|^2|w|^2=(z\ \overline{w})^2$[/tex], ergo [tex]$(z\ \overline{w})^2$[/tex] è reale e non negativo; ciò è possibile solo se [tex]$z\ \overline{w}$[/tex] è immaginario puro, ossia se si può scrivere [tex]$z\ \overline{w} =\alpha \ \imath$[/tex] con [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex], e da ciò segue [tex]$z=\frac{\alpha}{|w|^2} \ (\imath \ w)$[/tex].
Non so se ti può essere utile, ma meglio di così non so fare al momento...
Sinceramente non so se la strada corretta da seguire è quindi annullare quel termine e avere una condizione simile su [tex]c_1[/tex] e [tex]c_2[/tex] oppure il discorso da fare può essere un altro.
Rileggendo il testo noto che in effetti la frase "la distribuzione di probabilità nello stato [tex]|\psi \rangle[/tex] è autofunzione dell'operatore parità" è ambigua.
Per come la interpreti tu [tex]|\psi(x)|^2[/tex] deve essere autofunzione dell'operatore parità, mentre per come la interpreto io deve esserlo [tex]\psi(x)[/tex] (appunto per questo non capivo perchè considerassi il modulo quadro).
La mia interpretazione è stata automatica, senza soffermarmi molto sul testo, perchè tipicamente si cercano delle autofunzioni comuni per più operatori (in questo caso [tex]H[/tex] e [tex]P[/tex]). Se imponiamo che [tex]|\psi(x)|^2[/tex] debba essere autofunzione di [tex]P[/tex] allora [tex]\psi(x)[/tex] non lo è, ed in generale non mi pare che [tex]|\psi(x)|^2[/tex] sia autofunzione di [tex]H[/tex].
Infatti considerando [tex]\psi(x) = \sqrt{\frac{3}{4}} \psi_1(x) + i \sqrt{\frac{1}{4}} \psi_2(x)[/tex] abbiamo che [tex]P |\psi(x)|^2 = P (|\psi_1(x)|^2 + |\psi_2(x)|^2) = |\psi(x)|^2[/tex] tuttavia [tex]P \psi(x) = -\sqrt{\frac{3}{4}} \psi_1(x) + i \sqrt{\frac{1}{4}} \psi_2(x) \ne \psi(x)[/tex], da cui abbiamo che [tex]\psi(x)[/tex] non è un'autofunzione dell'operatore parità. Quindi la faccenda mi sembra un po' strana.
Un altro modo sarebbe, mantenendo la mia interpretazione riguardo l'operatore parità, di considerare [tex]|\psi_1 \rangle[/tex] e [tex]|\psi_2 \rangle[/tex] non come i ket associati a [tex]\psi_n(x) = H_n(x)[/tex] ma come ket generici. In tal caso, come dicevo appunto nei miei precedenti post, l'unico vincolo è che [tex]|\psi_1 \rangle[/tex] e [tex]|\psi_2 \rangle[/tex] abbiano la stessa parità.
Per come la interpreti tu [tex]|\psi(x)|^2[/tex] deve essere autofunzione dell'operatore parità, mentre per come la interpreto io deve esserlo [tex]\psi(x)[/tex] (appunto per questo non capivo perchè considerassi il modulo quadro).
La mia interpretazione è stata automatica, senza soffermarmi molto sul testo, perchè tipicamente si cercano delle autofunzioni comuni per più operatori (in questo caso [tex]H[/tex] e [tex]P[/tex]). Se imponiamo che [tex]|\psi(x)|^2[/tex] debba essere autofunzione di [tex]P[/tex] allora [tex]\psi(x)[/tex] non lo è, ed in generale non mi pare che [tex]|\psi(x)|^2[/tex] sia autofunzione di [tex]H[/tex].
Infatti considerando [tex]\psi(x) = \sqrt{\frac{3}{4}} \psi_1(x) + i \sqrt{\frac{1}{4}} \psi_2(x)[/tex] abbiamo che [tex]P |\psi(x)|^2 = P (|\psi_1(x)|^2 + |\psi_2(x)|^2) = |\psi(x)|^2[/tex] tuttavia [tex]P \psi(x) = -\sqrt{\frac{3}{4}} \psi_1(x) + i \sqrt{\frac{1}{4}} \psi_2(x) \ne \psi(x)[/tex], da cui abbiamo che [tex]\psi(x)[/tex] non è un'autofunzione dell'operatore parità. Quindi la faccenda mi sembra un po' strana.
Un altro modo sarebbe, mantenendo la mia interpretazione riguardo l'operatore parità, di considerare [tex]|\psi_1 \rangle[/tex] e [tex]|\psi_2 \rangle[/tex] non come i ket associati a [tex]\psi_n(x) = H_n(x)[/tex] ma come ket generici. In tal caso, come dicevo appunto nei miei precedenti post, l'unico vincolo è che [tex]|\psi_1 \rangle[/tex] e [tex]|\psi_2 \rangle[/tex] abbiano la stessa parità.
Quindi in base a quello che mi hai detto anche tu, l'unica cosa sensata che posso dire è che questa richiesta che la densità di probabilità di [tex]|\psi>[/tex] sia autofunzione della parità equivale a dare un certo legame tra i coefficienti dello sviluppo in autostati.
La cosa in generale può essere anche complicata, ma come esempio di stato [tex]|\psi>[/tex] che sia fatto come è richiesto e che soddisfi anche a quella condizione, si può utilizzare il tuo:
[tex]|\psi> = \sqrt{\frac{3}{4}}|\psi_1> + i\sqrt{\frac{1}{4}}|\psi_2>[/tex]
Spero che alla fine questa sia la risoluzione corretta. Ti ringrazio molto per l'aiuto Eredir!
La cosa in generale può essere anche complicata, ma come esempio di stato [tex]|\psi>[/tex] che sia fatto come è richiesto e che soddisfi anche a quella condizione, si può utilizzare il tuo:
[tex]|\psi> = \sqrt{\frac{3}{4}}|\psi_1> + i\sqrt{\frac{1}{4}}|\psi_2>[/tex]
Spero che alla fine questa sia la risoluzione corretta. Ti ringrazio molto per l'aiuto Eredir!
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