Oscillatore armonico quantistico

[ocram22]

Salve,
vi ringrazio in anticipo per l'aiuto e la pazienza. Mi sto preparando per l'esame di meccanica quantistica del corso di fisica, 3° anno della triennale. Confesso di aver perso molto tempo a lucidare per bene le formule esposte per renderle più comprensibili. Ho qui un esercizio di esame della sessione precendente:

Oscillatore armonico con massa m e pulsazione \omega che si trova al tempo t=0 nello stato descritto dalla funzione d'onda:
$\psi (x) = N*(y+c*y^2)*exp(-(y^2)/2)$
dove $y = x*sqrt(m*omega/h)$ (h ovviamente è h tagliato), e c un numero complesso di modulo 1.

1) Calcolare le probabilità dei possibili risultati di una misura dell'energia, e determinare lo stato al generico tempo t.
2) Determinare l'incertezza dell' osservabile $A=|1><0|+ |0><1|$

Ora... quello che ho fatto è stato calcolare N e scomporre lo stato iniziale nelle autofunzioni dell'hamiltoniano ottenendo:
$N= (2/sqrt(5))*root(4)((m*omega)/(h*pi))$
$\psi (x) =z/root(4)(25pi)*( |0> + |2> ) + sqrt(2)/root(4)(25pi)|1> $

da cui DOVREBBE seguire che i possibili risultati di una misura dell'energia siano

$E_0 = m*h/2$ con probabilità $ 1/(5sqrt(pi)) $
$E_1 = 3*m*h/2$ con probabilità $ 2/(5sqrt(pi)) $
$E_2 = 5*m*h/2$ con probabilità $ 1/(5sqrt(pi)) $

ora è evidente il disastro: se non fosse per quelle radici di pi-greco , le somme sulle probabilità arriverebbero a 4/5 e mancherebbe "solamente" 1/5 di probabilità. Probabilmente ho sbagliato a calcolare la costante N di normalizzazione, ma ho riguardato i calcoli più volte.

Ottenere la $\psi (t)$ ,invece, dovrebbe essere semplice: essendo scritta in termini delle autofunzioni di H, dovrei moltiplicare scalarmente per delle fasi del tipo $e^(-iE_n t)$ i corrispondenti autostati n-esimi.

Andando avanti e stendendo un velo pietoso sul disastro precedente, per l'incertezza dell'operatore A penso di aver capito che dovrei stimare la quantità $ - ^2$ ma non sò esattamente dove iniziare a mettere le mani, senza parlare della dipendenza dal tempo di tale quantità.

[gordnbrn]

Il valore di $N$ è corretto. Piuttosto:

$\psi(x)=sqrt(5)/5c*\psi_0(x)+sqrt(10)/5*\psi_1(x)+sqrt(10)/5c*\psi_2(x)$

Inoltre:

$A=|1><0|+|0><1| rarr A^2=|1><1|+|0><0|$

Con un po' di pazienza, utilizzando la notazione di Dirac, dovresti riuscire a completarlo.

[ocram22]

Ah! ti ringrazio moltissimo
Ho riportato z , per sbaglio, invece di c perchè nel testo era usata la lettera z ma per evitare confusioni mi sembrava più opportuno usare una lettera più consona al ruolo di costante, appunto c.

Il modo in cui ho ricavo la mia funzione d'onda è stato un semplice confronto dei termini dei polinomi, ma a quanto pare ho sbagliato i calcoli; se non altro i ragionamenti sono corretti, anche per quanto riguarda la dipendenza dal tempo?

P.s:
ho visto ora che hai modificato la risposta per integrare la parte sull'operatore A, e te ne ringrazio. Ma quei stati di A si riferiscono sempre ad autostati di H giusto? ovvero io andrò a fare
$$ e usando il formalismo di dirac, come suggerisci, dovrei cavermela?

[gordnbrn]

"ocram22":
...se non altro i ragionamenti sono corretti, anche per quanto riguarda la dipendenza dal tempo?

Certo.

P.S.
Ho aggiunto qualcosa nel mio primo messaggio.

[ocram22]

ps: ho modificato anche io piccola domanda: cosa rappresenterebbe tale osservabile?

[gordnbrn]

"ocram22":
Ma quei stati di A si riferiscono sempre ad autostati di H giusto? ovvero io andrò a fare
$$ e usando il formalismo di dirac, come suggerisci, dovrei cavermela?

Corretto quello che scrivi. Se posso darti un consiglio, non perderei troppo tempo nel concludere esercizi di questo tipo, a meno che non sia la prima volta che ti capiti un procedimento del genere. Voglio dire, visto una volta, basta e avanza.

P.S.
Si tratta di un operatore di transizione. Manda $|0>$ in $|1>$ e $|1>$ in $|0>$. Può essere utilizzato come operatore energia per indurre transizoni nella teoria perturbativa e non.

[ocram22]

Dici bene! Purtroppo però sono ancora alle prime armi e il formalismo di Dirac, personalmente, mi fa venire la nausea; dunque ho ancora problemi nel maneggiarlo.