Oscillatore armonico quantistico
Una parte di un esercizio dato dal mio professore non mi torna, per cui la propongo qui come esercizio a se stante.
Esercizio. Dato un oscillatore armonico quantistico nello stato \(|s>=(1 /\sqrt{2}) (-i|1>+|0>)\), calcolare il valore di aspettazione su questo stato del quadrato degli operatori posizione ed impulso.
Svolgimento (con errori).
Definendo \(\alpha = \sqrt{m \omega / \hbar}\), si ha, usando gli operatori di creazione e distruzione bosonici:
\[q=\frac{-i}{\sqrt{2}\alpha} (a^+ - a)\]
\[p=\frac{\hbar \alpha}{\sqrt{2}} (a^+ +a)\]
da cui, calcolando solo il valor medio di $q^2$ perché l'altro è analogo,
\[\bar {x^2} = \frac{-1}{4\alpha^2} (i<1|+<0|)(a^+ -a)^2(-i|1>+|0>)=\frac{-1}{4\alpha^2} (<0|{a^+}^2|0>+(-i)i<1|a^2|1>)=\frac{-1}{4\alpha^2}(\sqrt{1}\sqrt{1}-(-1)\sqrt{1}\sqrt{1})=\frac{-1}{2\alpha^2}\]
perché applicando $a^+ a$ e $aa^+$ otterrei dei prodotti scalari di vettori ortogonali (uno lo abbasso, l'altro lo alzo).
Ma questo mio risultato è palesemente sbagliato; inoltre, il mio professore riporta \(\frac{1}{\alpha^2}\).
Dove diamine sbaglio? Grazie a tutti.
Esercizio. Dato un oscillatore armonico quantistico nello stato \(|s>=(1 /\sqrt{2}) (-i|1>+|0>)\), calcolare il valore di aspettazione su questo stato del quadrato degli operatori posizione ed impulso.
Svolgimento (con errori).
Definendo \(\alpha = \sqrt{m \omega / \hbar}\), si ha, usando gli operatori di creazione e distruzione bosonici:
\[q=\frac{-i}{\sqrt{2}\alpha} (a^+ - a)\]
\[p=\frac{\hbar \alpha}{\sqrt{2}} (a^+ +a)\]
da cui, calcolando solo il valor medio di $q^2$ perché l'altro è analogo,
\[\bar {x^2} = \frac{-1}{4\alpha^2} (i<1|+<0|)(a^+ -a)^2(-i|1>+|0>)=\frac{-1}{4\alpha^2} (<0|{a^+}^2|0>+(-i)i<1|a^2|1>)=\frac{-1}{4\alpha^2}(\sqrt{1}\sqrt{1}-(-1)\sqrt{1}\sqrt{1})=\frac{-1}{2\alpha^2}\]
perché applicando $a^+ a$ e $aa^+$ otterrei dei prodotti scalari di vettori ortogonali (uno lo abbasso, l'altro lo alzo).
Ma questo mio risultato è palesemente sbagliato; inoltre, il mio professore riporta \(\frac{1}{\alpha^2}\).
Dove diamine sbaglio? Grazie a tutti.
Risposte
i vettori che cacci applicando $a^+ a$ e $a a^+$ non sono tutti ortogonali.
Non riesco a vedere gli stati non ortogonali derivanti dall'applicazione di quei due operatori... Mi sa che mi sfugge qualcosa di importante...
credo che tu ti stia perdendo dei termini. Tu hai:
(bra + bra) ( operatore + operatore + operatore + operatore) ( ket + ket)
devi avere 2*2*4 = 16 termini (per carità, molti nulli). Li stai considerando tutti?
(bra + bra) ( operatore + operatore + operatore + operatore) ( ket + ket)
devi avere 2*2*4 = 16 termini (per carità, molti nulli). Li stai considerando tutti?
"hamilton":
credo che tu ti stia perdendo dei termini. Tu hai:
(bra + bra) ( operatore + operatore + operatore + operatore) ( ket + ket)
devi avere 2*2*4 = 16 termini (per carità, molti nulli). Li stai considerando tutti?
Io credevo di sì... Ma a quanto pare no.
Chiamando $A$ il generico operatore che può essere uno dei quattro di questo esercizio, devo considerare i seguenti (a parte le i):$<1|A|1>$, $<1|A|0>$, $<0|A|1>$, $|<0|A|0>$.
Per quanto riguarda $(a^+)^2$ e $a^2$ credo di averli trovati tutti quelli non nulli, ma per $a^+ a$ e $aa^+$ proprio non capisco quali possano essere quelli non nulli. Esempio:
$<1|aa^+|1>$ dovrei alzare $1>$, ma non si può, dunque fa 0.
$<1|aa^+|0>$ abbasso $<1|$ e alzo $|0>$, così ho un prodotto di vettori ortogonali, dunque 0.
$<0|aa^+|1>$ analogamente al primo, fa 0.
$<0|aa^+|0>$ dovrei abbassare $<0|$, ma non si può, dunque fa 0.
Analogamente i quattro termini di $a^+ a$. Dove sbaglio?
Mi sa che mi sono davvero perso qualcosa di importante in questa materia...
EDIT. Scusami se sono troppo sintetico e molto molto molto poco formale, ma sto preparando anche un altro esame (inglese, per cui sono totalmente e profondamente negato) e punto a scrivere poco.
Che cosa vuol dire che alzare |1> non si può?
"hamilton":
Che cosa vuol dire che alzare |1> non si può?
Se l'oscillatore è in uno stato combinazione di stati $|0>$ e $|1>$ allora non posso ottenere, in questo caso specifico, anche $|2>$, $|3>$ eccetera. Giusto?
Ma anche se si potesse, otterrei comunque
$ <1|aa^+|1> $ dovrei alzare $|1>$ a $|2>$ e abbassare $|1>$ a $|0>$, vettori ortogonali.
$ <1|aa^+|0> $ abbasso $ <1| $ e alzo $ |0> $, così ho un prodotto di vettori ortogonali, dunque 0.
$ <0|aa^+|1> $ analogamente al primo, fa 0.
$ <0|aa^+|0> $ dovrei abbassare $ <0| $, ma è già stato fondamentale, dunque ottengo $<0|0$ e quindi il tutto fa 0.
Perché sbaglio?
"giuliofis":
Se l'oscillatore è in uno stato combinazione di stati $|0>$ e $|1>$ allora non posso ottenere, in questo caso specifico, anche $|2>$, $|3>$ eccetera. Giusto?
No, questo è falso. Perché lo pensi?
Per il resto, tu pensi che $a$ su un bra abbassi il livello energetico, mentre in realtà lo alza. Prendi questo statement sui ket: $ a^+|n> $ è proporzionale ad $|n+1>$, e fai il coniugato di questa proposizione.
"hamilton":
No, questo è falso. Perché lo pensi?
In realtà non lo penso.
Lo avevo trovato in un esercizio (o così credevo...) e lo avevo momentaneamente preso per verità.Per il resto, tu pensi che $a$ su un bra abbassi il livello energetico, mentre in realtà lo alza.
Hai ragione! Il bra corrispondente al ket $eta |v>$ è $
\(<0|aa^+|0>=1\),
\(<1|aa^+|1>=2\),
\(<1|a^+a|1>=1\),
da cui, tenendo conto delle unità immaginarie ($(-i)i=1$) e del segno negativo davanti gli operatori ottengo il risultato che volevo! Ora è giusto o ho solo fatto tornare il risultato?
Insomma, ci avevo capito poco... Domani prima di tutto mi riguardo il capitolo su queste cose, che purtroppo avevo studicchiato pochino diversi mesi fa...
Non conviene far agire gli operatori sempre "da sinistra", cioè sui ket, ed usare il bra solo alla fine, come proiettore?
Comunque credo che il secondo termine che hai scritto sia sbagliato, il prodotto scalare fra 2 vettori normalizzati non può essere maggiore di 1.
Comunque credo che il secondo termine che hai scritto sia sbagliato, il prodotto scalare fra 2 vettori normalizzati non può essere maggiore di 1.
Scusa ho detto una stupidata.. ci sono anche i numerini da tenere in conto xD
"giacor86":
Comunque credo che il secondo termine che hai scritto sia sbagliato, il prodotto scalare fra 2 vettori normalizzati non può essere maggiore di 1.
Ma c'è di mezzo il $sqrt(2)$, che compare due volte, quindi sarebbe $sqrt(2)sqrt(2)<2|2>=2*1=2$, no?
EDIT. Non avevo visto l'altra risposta, scusa.
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