Oscillatore armonico isotropo
Ciao a tutti.
E' qualche giorno che sto cercando di risolvere il problema dell'oscillatore armonico isotropo. Ho constatato che il metodo largamente più diffuso e più elegante fa uso dei ladder operators e risolve amabilmente il problema. L'unica cosa che mi resta un po' oscura sono le bizzarre condizioni su [tex]l[/tex] ma vabbè...
Il punto è che speravo si riuscisse a farlo direttamente dall'equazione differenziale. Mi spiego meglio...ad esempio il problema unidimensionale è governato da
[tex]-\frac{\hbar^2}{2m} \partial^2_x \psi(x) + \frac{m\omega^2}{2}x^2 \psi(x) = E \psi(x)[/tex]
cambiando variabile in [tex]y=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x[/tex] e introducendo una soluzione della forma [tex]\psi(x) = e^{\frac{y^2}{2}} u(y)[/tex] otteniamo l'equazione
[tex]u'' - 2 y u' + \left( 2\frac{E}{\hbar \omega} - 1 \right) u = 0[/tex]
questa è l'equazione dei polinomi di Hermite purchè si abbia
[tex]2\frac{E}{\hbar \omega} - 1 = 2n \qquad \rightarrow \qquad E = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)[/tex]
dove [tex]n[/tex] un numero intero non negativo [tex]n=0,1,2,...[/tex]. Quindi ammesso di conoscere i polinomi di Hermite uno ottiene soluzioni e condizione sugli autovalori in un colpo solo.
Visto che mi sembra un metodo efficace ma meno laborioso della ricerca delle condizioni ricorsive sui coefficienti dello sviluppo in serie ho pensato di applicarlo ad altri sistemi. Ad esempio l'oscillatore armonico tridimensionale. Speravo quindi di trovare sia le soluzioni in termine dei polinomi di Laguerre generalizzati e associati e di ottenere al tempo stesso le condizioni sugli autovalori e sul momento angolare. Neanche da dire che nemmeno riesco ad arrivare all'equazione di Laguerre...però secondo voi in linea di principio è sensato come ragionamento? Dovrei riuscire a ottenerla, giusto?
E' qualche giorno che sto cercando di risolvere il problema dell'oscillatore armonico isotropo. Ho constatato che il metodo largamente più diffuso e più elegante fa uso dei ladder operators e risolve amabilmente il problema. L'unica cosa che mi resta un po' oscura sono le bizzarre condizioni su [tex]l[/tex] ma vabbè...
Il punto è che speravo si riuscisse a farlo direttamente dall'equazione differenziale. Mi spiego meglio...ad esempio il problema unidimensionale è governato da
[tex]-\frac{\hbar^2}{2m} \partial^2_x \psi(x) + \frac{m\omega^2}{2}x^2 \psi(x) = E \psi(x)[/tex]
cambiando variabile in [tex]y=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x[/tex] e introducendo una soluzione della forma [tex]\psi(x) = e^{\frac{y^2}{2}} u(y)[/tex] otteniamo l'equazione
[tex]u'' - 2 y u' + \left( 2\frac{E}{\hbar \omega} - 1 \right) u = 0[/tex]
questa è l'equazione dei polinomi di Hermite purchè si abbia
[tex]2\frac{E}{\hbar \omega} - 1 = 2n \qquad \rightarrow \qquad E = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)[/tex]
dove [tex]n[/tex] un numero intero non negativo [tex]n=0,1,2,...[/tex]. Quindi ammesso di conoscere i polinomi di Hermite uno ottiene soluzioni e condizione sugli autovalori in un colpo solo.
Visto che mi sembra un metodo efficace ma meno laborioso della ricerca delle condizioni ricorsive sui coefficienti dello sviluppo in serie ho pensato di applicarlo ad altri sistemi. Ad esempio l'oscillatore armonico tridimensionale. Speravo quindi di trovare sia le soluzioni in termine dei polinomi di Laguerre generalizzati e associati e di ottenere al tempo stesso le condizioni sugli autovalori e sul momento angolare. Neanche da dire che nemmeno riesco ad arrivare all'equazione di Laguerre...però secondo voi in linea di principio è sensato come ragionamento? Dovrei riuscire a ottenerla, giusto?
Risposte
intendi forse i polinomi di Legendre? Quelli di Laguerre son per l'atomo di idrogeno...
Mi è capitato proprio all'esame di teoria delle perturbazioni e scattering un oscillatore in 3d isotropo con n l m definiti...Non ti dico il casino a provare la tua strada...Il punto è che invece introducendo gli operatoru a polarizzazione definita, insieme ai creazione, distruzione e agli scaletta del momento angolare si riesce a fare tutto bene e in fretta.
Ho visto in rete da qualche parte comunque la soluzione direttamente partendo dall'eq di Schrodingher in coord sferiche...ed era un mazzo totale, senza contare che il tuo tanto odiato controllo sui coefficienti dello sviluppo in serie ovviamente c'era
Prova un po' a cercare su google...
Mi è capitato proprio all'esame di teoria delle perturbazioni e scattering un oscillatore in 3d isotropo con n l m definiti...Non ti dico il casino a provare la tua strada...Il punto è che invece introducendo gli operatoru a polarizzazione definita, insieme ai creazione, distruzione e agli scaletta del momento angolare si riesce a fare tutto bene e in fretta.
Ho visto in rete da qualche parte comunque la soluzione direttamente partendo dall'eq di Schrodingher in coord sferiche...ed era un mazzo totale, senza contare che il tuo tanto odiato controllo sui coefficienti dello sviluppo in serie ovviamente c'era
Prova un po' a cercare su google...
No no...son proprio quelli di Laguerre. Guarda. Pure io ci sono rimasto...e tra l'altro come argomento c'è [tex]r^2[/tex]... Io diffido di Wiki per sto genere di cose ma questa volta regge il confronto con i testi sacri...
Comunque io adesso la prendo come una questione di principio....deve tornare!!!!!
Comunque io adesso la prendo come una questione di principio....deve tornare!!!!!
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