Oscillatore armonico e resistenza del mezzo
Salve a tutti, desideravo chiedervi un parere riguardo un esercizio su un oscillatore armonico smorzato a causa della resistenza del mezzo.
Avendo un oscillatore armonico smorzato a causa della forza di resistenza dle mezzo,
essendo \(\displaystyle \left.k=40M/m\right. \) e la forza di resistenza \(\displaystyle \left.F=bv\right. \) con \(\displaystyle \left.b=2Kg/s\right. \). Sia l'ampiezza iniziale \(\displaystyle \left.A_{0}=0.2m\right. \). Calcolare l'ampieza dopo 3 periodi.
La legge oraria di un oscillatore armonico smorzato è data da
\(\displaystyle \left.x(t)=Ae^{\alpha_{1}t}+Be^{\alpha_{2}t}\right. \)
dove le alpha sono le soluzioni dell'equazione
\(\displaystyle \left.\alpha^{2}+\frac{\beta}{m}\alpha+k=0\right. \) con delta minore di 0.
Questo implica che la legge oraria si trasforma in
\(\displaystyle \left.x(t)=x_{0}e^{-\gamma t}sin(\omega t+\varphi)\right. \)
dove \(\displaystyle \left.\gamma=\frac{\beta}{2m}\right.=1 \) per i dati che sono stati forniti dal problema.
Essendo \(\displaystyle \left.T=\frac{2\pi}{\omega}\right. \) ed \(\displaystyle \left.\omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{\beta^{2}}{4km}}\right. \) si ottiene T = 0.99s con una pulasazione di 6.32. Ovviamente 3T = 2.97s.
Applicando la legge oraria con questo tempo e considerando la fase iniziale nulla ottengo una ampiezza massima di 0.33 cm.
Desideravo sapere se questo procedimento fosse giusto, perché il mio libro risolve questo problema considerando la medesima legge oraria, ma quando va a fare il conto con 3T nella formula risolutiva non inserisce la parte relativa alla funzione periodica seno; praticamente usa questa:
\(\displaystyle x(t)=x_{0}e^{-\gamma t} \)
Desideravo sapere cosa ne pensate; grazie di tutto in anticipo.
Distinti saluti.
Enrico Catanzani
Avendo un oscillatore armonico smorzato a causa della forza di resistenza dle mezzo,
essendo \(\displaystyle \left.k=40M/m\right. \) e la forza di resistenza \(\displaystyle \left.F=bv\right. \) con \(\displaystyle \left.b=2Kg/s\right. \). Sia l'ampiezza iniziale \(\displaystyle \left.A_{0}=0.2m\right. \). Calcolare l'ampieza dopo 3 periodi.
La legge oraria di un oscillatore armonico smorzato è data da
\(\displaystyle \left.x(t)=Ae^{\alpha_{1}t}+Be^{\alpha_{2}t}\right. \)
dove le alpha sono le soluzioni dell'equazione
\(\displaystyle \left.\alpha^{2}+\frac{\beta}{m}\alpha+k=0\right. \) con delta minore di 0.
Questo implica che la legge oraria si trasforma in
\(\displaystyle \left.x(t)=x_{0}e^{-\gamma t}sin(\omega t+\varphi)\right. \)
dove \(\displaystyle \left.\gamma=\frac{\beta}{2m}\right.=1 \) per i dati che sono stati forniti dal problema.
Essendo \(\displaystyle \left.T=\frac{2\pi}{\omega}\right. \) ed \(\displaystyle \left.\omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{\beta^{2}}{4km}}\right. \) si ottiene T = 0.99s con una pulasazione di 6.32. Ovviamente 3T = 2.97s.
Applicando la legge oraria con questo tempo e considerando la fase iniziale nulla ottengo una ampiezza massima di 0.33 cm.
Desideravo sapere se questo procedimento fosse giusto, perché il mio libro risolve questo problema considerando la medesima legge oraria, ma quando va a fare il conto con 3T nella formula risolutiva non inserisce la parte relativa alla funzione periodica seno; praticamente usa questa:
\(\displaystyle x(t)=x_{0}e^{-\gamma t} \)
Desideravo sapere cosa ne pensate; grazie di tutto in anticipo.
Distinti saluti.
Enrico Catanzani
Risposte
Non so quanto risulta $\varphi$ ma evidentemente in quel valore il seno assume valore unitario
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