Oscillatore armonico bidimensionale

[ludwigZero]

Salve

Vorrei tentare di capire come affrontare problemi con gli oscillatori armonici bidimensionali in M.Q. Nel libro datoci dal professore, non c'è nulla (ha solo teoria e pochi esempi), in aula fatti esercizi con perturbazioni nel tempo, ma questa tipologia no, e quindi vorrei avere un qualche riscontro.

supponiamo di avere un oscillatore con energia $E = 3 h \omega$
$n = n_x + n_y+1$ per definizione allora:
io so che quel 3 è uguale a:
3 = n
quindi:
3 = 0 +2+1
3 = 1+1+1
3 = 2 +0 +1


Ammesso che la perturbazione sia scritta come: $H = A \epsilon p_y q_x$

come si procede per calcolare al 1ordine la correzione all'energia e allo stato del sistema?

Riscrivo $p_y q_x$ in termini di $a$ e $a^+$, ma poi?

[Studente Anonimo]

Dovresti applicare la teoria perturbativa indipendente dal tempo, autovalori discreti, caso degenere. Diagonalizzando l'operatore di perturbazione limitatamente al solo sottospazio degenere, in questo caso di dimensione $3$, si ottengono, in un colpo solo, le correzioni agli autovalori all'ordine $1$ e gli autovettori all'ordine $0$.

[ludwigZero]

Il sottospazio degenere è:
{ |2,0>, |1,1>, |0,2>}

data una combinazione:

a |2,0> + b | 1,1> + c |0,2>

bisogna applicare $p_y q_x$ (a |2,0> + b | 1,1> + c |0,2>)

ma come dovrebbe venir fuori una matrice 3x3?

di cui trovare l'autovalore all'ordine 1?

[Studente Anonimo]

Dovresti determinare gli autovalori e gli autovettori della seguente matrice:

$((<02|A\epsilonp_yq_x|02>,<02|A\epsilonp_yq_x|11>,<02|A\epsilonp_yq_x|20>),(<11|A\epsilonp_yq_x|02>,<11|A\epsilonp_yq_x|11>,<11|A\epsilonp_yq_x|20>),(<20|A\epsilonp_yq_x|02>,<20|A\epsilonp_yq_x|11>,<20|A\epsilonp_yq_x|20>))$

Gli autovalori rappresentano le correzioni dell'energia all'ordine $1$, gli autovettori rappresentano gli stati stazionari all'ordine $0$.

[ludwigZero]

AH ECCO! Grazie mille Sergeant! Illuminante.
E' venuta fuori una matrice antisimmetrica, la scrivo per chi volesse darci un'occhiata e dirmi se va bene!

$sqrt(2)/(2i) ((0,-1,0),(1,0,-1),(0,1,0))$

controllando velocemente con wolfram vengono tre autovalori:

$E_1 = 0$

$E_2 = -i$

$E_3 = +i$

A questo punto come si scrive la correzione?

[Studente Anonimo]

Più precisamente, la matrice autoaggiunta da diagonalizzare è la seguente:

$hatV=((0,isqrt2/2hA\epsilon,0),(-isqrt2/2hA\epsilon,0,isqrt2/2hA\epsilon),(0,-isqrt2/2hA\epsilon,0))$

$[\lambda_1=-hA\epsilon ^^ veca_1=((-i/2),(sqrt2/2),(i/2))] rarr [E_1=3h\omega-hA\epsilon ^^ \psi_1=-i/2\psi_(02)+sqrt2/2\psi_(11)+i/2\psi_(20)]$

$[\lambda_2=0 ^^ veca_2=((sqrt2/2),(0),(sqrt2/2))] rarr [E_2=3h\omega ^^ \psi_2=sqrt2/2\psi_(02)+sqrt2/2\psi_(20)]$

$[\lambda_3=hA\epsilon ^^ veca_1=((i/2),(sqrt2/2),(-i/2))] rarr [E_3=3h\omega+hA\epsilon ^^ \psi_3=i/2\psi_(02)+sqrt2/2\psi_(11)-i/2\psi_(20)]$

dove $E_1$, $E_2$, $E_3$ sono i valori dell'energia all'ordine $1$, mentre $\psi_1$, $\psi_2$, $\psi_3$ sono le funzioni d'onda degli stati stazionari all'ordine $0$.

P.S.
Veramente, dove compare $h$ deve intendersi $h/(2\pi)$.

[ludwigZero]

Se avessi come hamiltoniana $H = A \epsilon p_x q_y$ ci sarebbe un modo per calcolare la matrice a partire da quella già calcolata qui, o si dovrebbero rifare i calcoli da 0? Cioè $p_x q_y$ non dovrebbe essere il simmetrico di $p_y q_x$?