Oscillatore armonico

[squalllionheart]

Ciao rega sto studiando l'osscillatore armonico arrivata alla forma

$x(t)$=$x_0cosomegat+v_0/(omega)sinomegat$

come arrivo alla forma
$x(t)=Acos(omegat+phi)$

[ELWOOD1]

ehm...cosa indica quel $(v_0)/(\omega)$ ?

posso cercare di spiegartela partendo dalla soluzione all'eq. differenziale:

$x(t)=c_1\cos\omega t+c_2\sin\omega t$ che sostanzialmente è del tutto equivalente (dimensionalmente) a quella scritta da te.

Dando per scontato che fin qui ci siamo, quest'ultima puoi riscriverla in modo equivalente (attraverso un semplice passaggio matematico) come:

$x(t)=\sqrt{c_1^2+c_2^2}(\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\cos\omega t+\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\sin\omega t)$

in modo che puoi identificare $\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}$ e $\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}$ come seni e coseni di uno stesso angolo (che possiamo chiamare $\phi$), in quanto se vedi la somma dei loro quadrati è unitaria e hanno valori solo tra $-1$ e $1$. (questo lo vedi se fai il $lim_{c_1rightarrow +- oo}\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}$ e $lim_{c_2rightarrow +- oo}\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}$)

allora possimao dire che:

${[\cos\phi=\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}],[\sin\phi=-\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}]:}$

dopo queste "deduzioni" possiamo riscrivere la soluzione all'equazione differenziale come:

$x(t)=\sqrt{c_1^2+c_2^2}(\cos\omega t\cos\phi-\sin\omega t\sin\phi)$

ora vedi che il primo termine rappresenta una generica misura di distanza data dalle condizioni iniziali che puoi genericamente chiamare $A$ che rappresenta l'ampiezza del tuo moto (generalmente la massima distanza dalla posizione di equilibrio).
I termini all'interno della parentesi invece puoi trasformarli (grazie alle formule di prostaferesi) come $cos(\omega t+\phi)$ dunque sei arrivato a ridurre l'equazione del moto come

$x(t)=A\cos(\omega t + phi)$

[Cmax1]

I coefficienti $x_0$, $v_0/\omega$ discendono imponendo le condizioni $x(0)=x_0, \dot{x}(0)=v_0$ sulla soluzione generale $Acos\omegat+Bsin\omegat$. Il resto del procedimento è indicato da ELWOOD.

[franced]

"squalllionheart":Ciao rega sto studiando l'osscillatore armonico arrivata alla forma

$x(t)$=$x_0cosomegat+v_0/(omega)sinomegat$

come arrivo alla forma
$x(t)=Acos(omegat+phi)$

In generale:

$lambda cos (omega t) + mu sin (omega t)$

vogliamo che questa somma sia uguale a

$A cos(omega t + phi)$

risordando la formula:

$cos(theta + gamma) = cos(theta) cos(gamma) - sin(theta) sin(gamma)$

si ricava:

$A cos(omega t + phi) = A (cos(omega t) cos(phi) - sin(omega t) sin(phi))$

a questo punto basta uguagliare con la formula iniziale:

$A cos (phi) = lambda$
$-A sin(phi) = mu$

e risolvere il sistema