Orologio e moto armonico
Da un vecchio compito di Fisica Generale. Ci sono varie domande, e non riesco a risolvere la d:
Un orologio al quarzo contiene una piccola massa di 0,1 g (cristallo piezoelettrico) in grado di oscillare a $10^5$ Hz.
(d)L'orologio cade per terra da un'altezza di 1 metro e si ferma sul pavimento. L'urto dura $1/10$ di secondo. Quanto influisce questo sulle vibrazioni del piezo?
P.S.: Non è che è un trabocchetto???
Un orologio al quarzo contiene una piccola massa di 0,1 g (cristallo piezoelettrico) in grado di oscillare a $10^5$ Hz.
(d)L'orologio cade per terra da un'altezza di 1 metro e si ferma sul pavimento. L'urto dura $1/10$ di secondo. Quanto influisce questo sulle vibrazioni del piezo?
P.S.: Non è che è un trabocchetto???
Risposte
io provo a dirti cosa penso di questo problema.
1)Se l'orologio non cadesse tu avresti il moto della massa descritto da una equazione differenziale del secondo ordine di questo tipo $ (dx/dt)^2 + kx = 0 $.
Questa è l'equazione di un moto armonico non smorzato(infatti non si parla di attrito) e non condizionato da forze esterne. La soluzione di questa equazione è del tipo $Acos(omega*t+teta)$ dove omega è la pulsazione e quindi la frequenza a meno di un 2pigrco e teta è un angolo che dipende dal punto di partenza della massa in movimento...punto di partenza che in questo caso tenderei a a non considerare.
2) Il problema è che qui l'orologio cade...che tradotto vuol dire che gli viene trasferita una certa energia e quindi una certa forza esterna impulsiva.Questo fatto che succede lo posso mettere dentro l'equazione differenziale pensando che oltre alle due forze di cui ho fatto il bilancio nel punto 1 ce ne è un'altra che non dipende dal tempo...cioè equivale ad aggiungere un termine noto nell'equazione che così secondo me diventa $ (dx/dt)^2 + kx = Fcostante.$
Il valore di questa costante me lo troverei così...
a)mgh = energia iniziale del'orologio.
b)Fcostante*t=m*v (teorema impulso)-->da qui ricavo il valore di Fcostante se ho v
c)un'istante prima di toccare terra ho che mgh=0,5m*v*v--> da qui ricavo la velocità appena prima di toccare terra.
quindi ora ho il valore del termine noto.Posso ora studiare l'equazione differenziale del tipo $ (dx/dt)^2 + kx = Fcostante.$ e vedere, una volta trovata la forma della soluzione, se riesco a capire se cambia qualcosa o meno nella pulsazione.
Non so se magari...sempre ammesso che quello che ho scritto sia giusto ...ci fosse un modo( tipo 2 righe di ragionamento) per capire di sicuro cosa succede senza fare tutta sta solfa. Se c'è io non lo ho visto.
1)Se l'orologio non cadesse tu avresti il moto della massa descritto da una equazione differenziale del secondo ordine di questo tipo $ (dx/dt)^2 + kx = 0 $.
Questa è l'equazione di un moto armonico non smorzato(infatti non si parla di attrito) e non condizionato da forze esterne. La soluzione di questa equazione è del tipo $Acos(omega*t+teta)$ dove omega è la pulsazione e quindi la frequenza a meno di un 2pigrco e teta è un angolo che dipende dal punto di partenza della massa in movimento...punto di partenza che in questo caso tenderei a a non considerare.
2) Il problema è che qui l'orologio cade...che tradotto vuol dire che gli viene trasferita una certa energia e quindi una certa forza esterna impulsiva.Questo fatto che succede lo posso mettere dentro l'equazione differenziale pensando che oltre alle due forze di cui ho fatto il bilancio nel punto 1 ce ne è un'altra che non dipende dal tempo...cioè equivale ad aggiungere un termine noto nell'equazione che così secondo me diventa $ (dx/dt)^2 + kx = Fcostante.$
Il valore di questa costante me lo troverei così...
a)mgh = energia iniziale del'orologio.
b)Fcostante*t=m*v (teorema impulso)-->da qui ricavo il valore di Fcostante se ho v
c)un'istante prima di toccare terra ho che mgh=0,5m*v*v--> da qui ricavo la velocità appena prima di toccare terra.
quindi ora ho il valore del termine noto.Posso ora studiare l'equazione differenziale del tipo $ (dx/dt)^2 + kx = Fcostante.$ e vedere, una volta trovata la forma della soluzione, se riesco a capire se cambia qualcosa o meno nella pulsazione.
Non so se magari...sempre ammesso che quello che ho scritto sia giusto ...ci fosse un modo( tipo 2 righe di ragionamento) per capire di sicuro cosa succede senza fare tutta sta solfa. Se c'è io non lo ho visto.
Se la durata dell'urto è trascurabile,si conserva la quantità di moto
1/10 di secondo potrebbe essere trascurabile?
1/10 di secondo potrebbe essere trascurabile?
Uno potrebbe dire che, dato che la "frequenza" della forzante, 10Hz, (ossia l'urto) è molto minore della frequenza di oscillazione del cristallo, esso non ne risentirà.
Tuttavia questo ragionamento sta in piedi solo se uno considera la forzante come una funzione trigonometrica. Se invece la consideriamo come una serie di impulsi o una combinazione di due funzioni di Heaviside, scopriamo che, benchè la forzante agisce su un periodo di 1/10 di secondo, essa è composta da moltissime armoniche a frequenze ben maggiori di 10Hz.
Tuttavia questo ragionamento sta in piedi solo se uno considera la forzante come una funzione trigonometrica. Se invece la consideriamo come una serie di impulsi o una combinazione di due funzioni di Heaviside, scopriamo che, benchè la forzante agisce su un periodo di 1/10 di secondo, essa è composta da moltissime armoniche a frequenze ben maggiori di 10Hz.
Però quello che dice marco83 secondo me è un buono spunto. Forse potremmo studiare l'urto usando fourier. Infatti l'urto lo possiamo schematizzare come un funzione rect di ampiezza Fcostante e durata 0,1 secondi. Passando in frequenza tramite fourier si ottiene che la trasformata di una funzione rettangolo come questa è una funzione sinc. In particolare la funzione trasformata sarebbe Fcostante*0,1*sinc(freq*0,1).La frequenza a cui interessa studiarla a noi è f=100000--> dobbiamo studiare Fcostante*0,1*sinc(10000).Siccome però sinc(k) = (sen(k*pigreco))/k*pigreco--> sinc 10000 è uguale a zero.Questo dimostra che l'urto sul pavimento non ha effetto sulle frequenze multiple di 10 hz.
...quindi forse il ragionamento di due righe era osservare che siccome 100000Hz è multiplo di 10Hz l'urto non ha effetto.
L'altra cosa che penso è che siccome c'è scritto" da un vecchio compito di fisica generale" forse chi lo ha dato non si aspettava una soluzione di sto tipo.Forse anche impostando l'equazione differenziale si arriva allo stesso risultato.Sarei curioso di saperlo ma sono troppo pigro per provare...se qualcuno avesse volglia..magari con derive o mathematica...
...quindi forse il ragionamento di due righe era osservare che siccome 100000Hz è multiplo di 10Hz l'urto non ha effetto.
L'altra cosa che penso è che siccome c'è scritto" da un vecchio compito di fisica generale" forse chi lo ha dato non si aspettava una soluzione di sto tipo.Forse anche impostando l'equazione differenziale si arriva allo stesso risultato.Sarei curioso di saperlo ma sono troppo pigro per provare...se qualcuno avesse volglia..magari con derive o mathematica...
Mancando altri dati ritengo che il problema non andasse in cerca di risposte particolarmente articolate. Sebbene il discorso dell'analisi di Fourier sia a rigore corretto.
Io credo che la risposta richiesta dal problema sia che un impulso di questo tipo è totalmente disaccoppiato dal moto del piezo, vista la scala dei tempi molti ordini di grandezza diversa.
P.
Io credo che la risposta richiesta dal problema sia che un impulso di questo tipo è totalmente disaccoppiato dal moto del piezo, vista la scala dei tempi molti ordini di grandezza diversa.
P.
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