Orbite, teorema di Bertrand

[Spremiagrumi1]

Sto studiando le condizioni per le orbite chiuse (forze centrali, singola particella) dal Goldstein. Il problema penso non sia molto facile ma se qualcuno già pratico vuole cimentarsi l'aiuto è ben accetto.

Ho un potenziale che chiamo $V'(r)$ che, affinché l'orbita sia circolare, deve avere un minimo o un massimo in $r_0$. Studio la derivata seconda della funzione $V'$ per stabilire se l'orbita è stabile (minimo).

$(partial^2 V')/(partial r^2)|_(r_0)=-(partial f)/(partial r)|_(r_0)+3l^2/(mr_0^4)>0 $
(sono le forze che generano questo potenziale col segno meno davanti a loro volte derivate parzialmente (una sola volta naturalmente per r)

(Quell' r0 è un pedice, non so perché non me lo mette in basso, calcolarlo in $r_0$ insomma)


$(partial f)/(partial r)|_(r_0) <-3f(r_0)/r_0$

perché

$f(r_0)=-l^2/(mr_0^3)$

ancora si ottiene

$(dlnf)/(dlnr)|_(r_0)>(-3)$ Nel libro è scritta così ma a me risulta maggiore di 3 non -3. Cosa dite?

Se adesso ipotizziamo una forza $f=-kr^n)$ possiamo scrivere la disequazione
$-knr^(n-1)<3kr^(n-1)$ e quindi $n>(-3)$. Questa è la condizione di stabilità per le orbite circolari

Fin qui tutto chiaro a parte il segno di quella disequazione, poi mi dice
"Se l'orbita circolare è stabile, un piccolo incremento di energia della particella si tradurrà in piccole oscillazioni di $r$ attorno a $r_0$. Si può anche dimostrare che per piccole deviazioni dalle condizioni di circolarità, la particella compie oscillazioni armoniche in $u(-= 1/r)$ attorno al valore $u_0$

$u=u_0+acos(beta*theta)$

Sarei curioso di vedere questa dimostrazione. Mi dice che a dipende dalla deviazione dell'energia dal valore necessario per l'orbita circolare e $beta$ è una quantità che dipende dallo sviluppo in serie di Taylor della forza $f(r)$ attorno ad $r_0$

In particolare mi dice

$beta^2=3+r/(f)(df)/(dr)|_(r_0)$

Vorrei sapere come ottiene questo $beta$, parla della dipendenza dello sviluppo di Taylor ma nient'altro.
Poi oltre tutto lo usa per risolvere l'eq differenziale $(dlnf)/(dlnr)=beta^2-3$
che da
$f(r)=-k/(r^(3-beta^2)$ che è essenziale per enunciare il teorema di Bertrand, cioè che le uniche forze centrali che danno luogo ad orbite chiuse per tutte le condizioni iniziali corrispondenti ai moti limitati sono quelle con $beta^2=1$ o $beta^2=4$

Ditemi se qualcosa non è chiaro, naturalmente non potevo scrivere 50 pagine di capitolo di un libro.