Orbite spazio delle fasi
Salve a tutti ,
vi sarei grado si mi forniste un metodo da seguire nella risoluzione di questo tipo di esercizio :
Data
$ E(theta,dot(theta))=m/6dot(theta)^2+k/2cos^2theta $
si discutano qualitativamente i moti del sistema , rappresentando le orbite nello spazio delle fasi.
Mi si dice :
Il livello critico $ E(theta,dot(theta))=0 $ si compone delle orbite corrispondenti alle soluzioni stazionarie
$(theta,dot(theta))=(pi/2,0),(-pi/2,0)$ e fino a qui ci sono.
Poi però mi perdo.
Se $0
di equilibrio $theta=pi/2,-pi/2$.
Il livello critico $E(theta,dot(theta))=k/2$ si compone dell orbite corrispondenti alle soluzioni stazionarie
$ (theta,dot(theta))=(0,0),(pi,0)$ ed ai moti relativi a meta asintotica.
Infine se $ E(theta,dot(theta))>k/2$ i livelli si compongono di moti progressivi o retrogradi corrispondenti a rotazioni
complete delle sbarretta attorno al suo baricentro. (Il sistema è composto da una sbarretta con il baricentro vincolato
nell' origine e con gli estremi $A,B$ richiamati dall' origine dell coordinate e dall' asse delle ordinate rispettivamente.)
Grazie per l'aiuto.
Grazie per l'aiuto.
vi sarei grado si mi forniste un metodo da seguire nella risoluzione di questo tipo di esercizio :
Data
$ E(theta,dot(theta))=m/6dot(theta)^2+k/2cos^2theta $
si discutano qualitativamente i moti del sistema , rappresentando le orbite nello spazio delle fasi.
Mi si dice :
Il livello critico $ E(theta,dot(theta))=0 $ si compone delle orbite corrispondenti alle soluzioni stazionarie
$(theta,dot(theta))=(pi/2,0),(-pi/2,0)$ e fino a qui ci sono.
Poi però mi perdo.
Se $0
di equilibrio $theta=pi/2,-pi/2$.
Il livello critico $E(theta,dot(theta))=k/2$ si compone dell orbite corrispondenti alle soluzioni stazionarie
$ (theta,dot(theta))=(0,0),(pi,0)$ ed ai moti relativi a meta asintotica.
Infine se $ E(theta,dot(theta))>k/2$ i livelli si compongono di moti progressivi o retrogradi corrispondenti a rotazioni
complete delle sbarretta attorno al suo baricentro. (Il sistema è composto da una sbarretta con il baricentro vincolato
nell' origine e con gli estremi $A,B$ richiamati dall' origine dell coordinate e dall' asse delle ordinate rispettivamente.)
Grazie per l'aiuto.
Grazie per l'aiuto.
Risposte
disegna il grafico del potenziale $V(\theta) = \frac{k}{2}\cos^2(\theta)$. Usalo per disegnare gli insiemi di livello di $E$ nel piano $(\theta, \dot \theta)$.
Ok , fino a
Se $0
di equilibrio $theta=pi/2,-pi/2$.
Il livello critico $E(theta,dot(theta))=k/2$ si compone dell orbite corrispondenti alle soluzioni stazionarie
$ (theta,dot(theta))=(0,0),(pi,0)$ ed ai moti relativi a meta asintotica.
Ok per le stazionarie , dato che $dot(theta)=0$ , ok a meta asintotica .
Poi però ,
se $ E(theta,dot(theta))>k/2$ i livelli si compongono di moti progressivi o retrogradi corrispondenti a rotazioni
complete delle sbarretta attorno al suo baricentro.
Non capisco proprio il perché .
Se $0
di equilibrio $theta=pi/2,-pi/2$.
Il livello critico $E(theta,dot(theta))=k/2$ si compone dell orbite corrispondenti alle soluzioni stazionarie
$ (theta,dot(theta))=(0,0),(pi,0)$ ed ai moti relativi a meta asintotica.
Ok per le stazionarie , dato che $dot(theta)=0$ , ok a meta asintotica .
Poi però ,
se $ E(theta,dot(theta))>k/2$ i livelli si compongono di moti progressivi o retrogradi corrispondenti a rotazioni
complete delle sbarretta attorno al suo baricentro.
Non capisco proprio il perché .
La mia perplessità riguarda il fatto che la sbarretta non è messa in rotazione all'inizio ,
solo i suoi estremi sono attratti dall' origine e dall' asse delle ordinate , quindi perché dovrei immaginare rotazioni
complete attorno al baricentro ?
solo i suoi estremi sono attratti dall' origine e dall' asse delle ordinate , quindi perché dovrei immaginare rotazioni
complete attorno al baricentro ?
se $E > \frac{k}{2}$ allora è ovvio che devi avere sempre $(\dot \theta)^2 > 0$ e dunque $\dot \theta \ne 0$ ed ha sempre lo stesso segno
Ok per $dot(theta) !=0 $ ,
il fatto che il moto sia o sempre retrogrado o sempre progressivo deriva dal fatto che non ci siano punti d'arresto ?
Poi scusami perché imposti la condizione $ (\dot \theta)^2 > 0 $ ,
non c' è bisogno solo che l' energia cinetica sia diversa da zero ?
E dunque la condizione $ (\dot \theta)^2 > 0 $ non sarebbe l' inevitabile conseguenza ?
Insomma io avrei ragionato al contrario , ho paura che ci sia più di una falla nel mio modo di vedere le cose.
Grazie tante per il tuo tempo.
il fatto che il moto sia o sempre retrogrado o sempre progressivo deriva dal fatto che non ci siano punti d'arresto ?
Poi scusami perché imposti la condizione $ (\dot \theta)^2 > 0 $ ,
non c' è bisogno solo che l' energia cinetica sia diversa da zero ?
E dunque la condizione $ (\dot \theta)^2 > 0 $ non sarebbe l' inevitabile conseguenza ?
Insomma io avrei ragionato al contrario , ho paura che ci sia più di una falla nel mio modo di vedere le cose.
Grazie tante per il tuo tempo.
L'energia cinetica è nonnegativa sempre, ovviamente $\dot \theta^2 \ge 0$.
Se scrivi $ E > k/2$, e sostituisci $ E $ e fai i calcoli, ottieni $\dot \theta \ne 0$ per ogni tempo (l'energia è conservata). È una funzione continua del tempo mai nulla, dunque ha sempre lo stesso segno. L'energia cinetica è sempre positiva, e la velocità è sempre non nulla.
Se scrivi $ E > k/2$, e sostituisci $ E $ e fai i calcoli, ottieni $\dot \theta \ne 0$ per ogni tempo (l'energia è conservata). È una funzione continua del tempo mai nulla, dunque ha sempre lo stesso segno. L'energia cinetica è sempre positiva, e la velocità è sempre non nulla.
Ti ringrazio ancora , sei sempre chiarissimo.
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