Orbita circolare con accelerazione tangenziale
Ciao, amici! Supponiamo che un satellite descriva un'orbita circolare intorno ad un pianeta. Sono agli inizi nei miei studi di fisica, ma mi sono chiesto che cosa accade se tale satellite accelera brevemente in direzione tangenziale al moto circolare sia nel caso in cui l'accelerazione abbia lo stesso verso sia in quello in cui deceleri, nel senso che l'accelerazione abbia verso opposto.
Intuitivamente direi che l'orbita si distorca diventando ellittica e "più grande" nel primo caso, "più piccola" nel secondo.
Rigorosamente parlando, che cosa accade al satellite? In particolare, l'apogeo e il perigeo dove vengono a trovarsi e perché?
$\infty$ grazie per ogni spiegazione!
Intuitivamente direi che l'orbita si distorca diventando ellittica e "più grande" nel primo caso, "più piccola" nel secondo.
Rigorosamente parlando, che cosa accade al satellite? In particolare, l'apogeo e il perigeo dove vengono a trovarsi e perché?
$\infty$ grazie per ogni spiegazione!
Risposte
L'orbita circolare è una particolare orbita ellittica, come ben sai essendo tu un matematico. Le orbite ellittiche sono chiuse perché il sistema è "legato" , cioè l'energia totale (cinetica più potenziale) è negativa . Per convenzione si pone uguale a zero l'energia potenziale a distanza infinita, e quindi dovendo diminuire quando il punto è più vicino alla massa che crea il campo essa deve assumere valori negativi .
L'energia totale quindi è : $E = 1/2mv^2 - G(Mm)/r $ .
Se il satellite accelera poco, in modo che il sistema rimanga legato, e l'energia totale rimanga negativa, l'orbita diventa ellittica, proprio come hai pensato! Ma se accelera "troppo" , potrebbe anche sfuggire e allontanarsi su un'orbita aperta, parabolica o iperbolica, dipende ! Come una cometa che , "una tantum" si fa un giretto attorno al Sole una sola volta , e non torna mai più. Non certo come la cometa di Halley , la cui orbita è chiusa, e torna ogni 74 anni, se ricordo bene.
L'energia totale quindi è : $E = 1/2mv^2 - G(Mm)/r $ .
Se il satellite accelera poco, in modo che il sistema rimanga legato, e l'energia totale rimanga negativa, l'orbita diventa ellittica, proprio come hai pensato! Ma se accelera "troppo" , potrebbe anche sfuggire e allontanarsi su un'orbita aperta, parabolica o iperbolica, dipende ! Come una cometa che , "una tantum" si fa un giretto attorno al Sole una sola volta , e non torna mai più. Non certo come la cometa di Halley , la cui orbita è chiusa, e torna ogni 74 anni, se ricordo bene.
"navigatore":
essendo tu un matematico.
Touché. In realtà non sono proprio niente... Studio queste cose da autodidatta per puro piacere personale e, per il momento, non sono neanche iscritto all'università"navigatore":Avevo pensato all'energia totale, di cui ho una qualche conoscenza da studi precedenti ancora più elementari di questi. Molto interessante come da essa dipenda il tipo di conica cui corrisponde l'orbita.
l'energia totale (cinetica più potenziale) è negativa .
Quanto all'apogeo e al perigeo di satellite che mantiene, pur accelerando in verso concorde o discorde alla velocità, un'orbita ellittica, come variano in generale rispetto alla circonferenza inizialmente descritta? Mi verrebbe da supporre che, se l'accelerazione è concorde, l'apogeo esce dal cerchio originario, ma non saprei giustificarlo rigorosamente, né dire dove "va a trovarsi" il perigeo... E se l'accelerazione è discorde?
Grazie di cuore ancora!
"DavideGenova":
[quote="navigatore"]essendo tu un matematico.
Touché. In realtà non sono proprio niente... Studio queste cose da autodidatta per puro piacere personale e, per il momento, non sono neanche iscritto all'università[/quote]Scusami allora,
, non volevo per niente lanciarti una stoccata, ero convinto che fossi un matematico, ho letto e apprezzato molte tue risposte altrove, specie in "generale" . Complimenti per lo studio come piacere personale, è il più gratificante, anche per me! "navigatore":Avevo pensato all'energia totale, di cui ho una qualche conoscenza da studi precedenti ancora più elementari di questi. Molto interessante come da essa dipenda il tipo di conica cui corrisponde l'orbita.
l'energia totale (cinetica più potenziale) è negativa .
Quanto all'apogeo e al perigeo di satellite che mantiene, pur accelerando in verso concorde o discorde alla velocità, un'orbita ellittica, come variano in generale rispetto alla circonferenza inizialmente descritta? Mi verrebbe da supporre che, se l'accelerazione è concorde, l'apogeo esce dal cerchio originario, ma non saprei giustificarlo rigorosamente, né dire dove "va a trovarsi" il perigeo... E se l'accelerazione è discorde?
Grazie di cuore ancora!
Eh, intuitivamente l'apogeo e il perigeo vanno a finire come pensi, ma ci vorrebbe un po' di matematica…ci vorrebbe un intervento di zio Giovanni Keplero, credo…ovvero di Faussone che è la sua reincarnazione ( non lo sapevi ?
)
"navigatore":Ah ah ah, mi hai fatto onore a credere che fossi uno studente immatricolato di matematica! Comunque mi vorrei fare ancora qualche basetta in più, per non pagare tasse di iscrizione per $10^N$ eoni geologici con $N$ molto grande, e poi non escludo affatto l'idea di iscrivermi...
Scusami allora
@Faussone: se passassi di qua e avessi voglia di contribuire...
$\infty$ grazie a tutti!
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