Operatori di creazione e distruzione - meccanica quantistica
Buonasera a tutti!
Sto cominciando ad usare la notazione di Dirac, che mi pare certamente molto utile, ma a volte preferirei osservare le cose con i più rassicuranti integrali. In particolare, in un esercizio sull'oscillatore armonico monodimensionale, ad un certo punto c'è da calcolare il valore medio di $ x$ sul generico autostato $ n$ . La soluzione riporta:
$ = sqrt(h/(4pi m omega ) ) = 0 $
con $ a$ ed $a^+ $ gli operatori distruzione e creazione.
Quello che non capisco è se il risultato è in qualche modo immediato, o se per arrivarci occorre svolgere l'integrale corrispondente, dove, suppongo, andrebbe sostituito all' autostato $ phi_n $ il generico autostato $ n$ dell'oscillatore armonico noto dalla letteratura.
Chi mi aiuta a capire? Grazie a tutti
Sto cominciando ad usare la notazione di Dirac, che mi pare certamente molto utile, ma a volte preferirei osservare le cose con i più rassicuranti integrali. In particolare, in un esercizio sull'oscillatore armonico monodimensionale, ad un certo punto c'è da calcolare il valore medio di $ x$ sul generico autostato $ n$ . La soluzione riporta:
$
con $ a$ ed $a^+ $ gli operatori distruzione e creazione.
Quello che non capisco è se il risultato è in qualche modo immediato, o se per arrivarci occorre svolgere l'integrale corrispondente, dove, suppongo, andrebbe sostituito all' autostato $ phi_n $ il generico autostato $ n$ dell'oscillatore armonico noto dalla letteratura.
Chi mi aiuta a capire? Grazie a tutti
Risposte
Ciao Ingenium!
Non c'è bisogno di svolgere alcun integrale: basta conoscere l'azione di $a$ e \(a^{\dagger}\) su uno stato $n$:
\[a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle\]
\[a^{\dagger}|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle\]
L'azione dei due operatori di costruzione e distruzione ti porta in autostati diversi da $n$ ed essendo tali stati ortogonali hai che quel valor medio è nullo:
\[\langle n |a+a^{\dagger}|n\rangle =\langle n |a|n\rangle+\langle n |a^{\dagger}|n\rangle = \sqrt{n}\langle n |n-1\rangle+\sqrt{n+1}\langle n |n+1\rangle = 0 \]
Non c'è bisogno di svolgere alcun integrale: basta conoscere l'azione di $a$ e \(a^{\dagger}\) su uno stato $n$:
\[a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle\]
\[a^{\dagger}|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle\]
L'azione dei due operatori di costruzione e distruzione ti porta in autostati diversi da $n$ ed essendo tali stati ortogonali hai che quel valor medio è nullo:
\[\langle n |a+a^{\dagger}|n\rangle =\langle n |a|n\rangle+\langle n |a^{\dagger}|n\rangle = \sqrt{n}\langle n |n-1\rangle+\sqrt{n+1}\langle n |n+1\rangle = 0 \]
Logico!
Ti ringrazio molto, mi sono scervellato un po', chiedo aiuto solo quando proprio non ci arrivo.
Era semplice lo so, solo che sto cercando di cominciare a fare qualche esercizio semplice durante lo studio della teoria, così questa mi risulta più semplice da capire e ricordare.
Grazie di nuovo!
Ti ringrazio molto, mi sono scervellato un po', chiedo aiuto solo quando proprio non ci arrivo.
Era semplice lo so, solo che sto cercando di cominciare a fare qualche esercizio semplice durante lo studio della teoria, così questa mi risulta più semplice da capire e ricordare.
Grazie di nuovo!
Fai benissimo e non ti preoccupare: se si dispone di un qualsiasi strumento che può facilitare lo studio e l'apprensione di nuovi concetti, ben venga utilizzarlo. 
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