Operatore scambio e parità in un problema a due corpi
Buongiorno 
Ho un sistema a due corpi in cui ho già diviso moto relativo e moto del centro di massa con le solite relazioni:
\[ \begin{cases} \overline{x_r}=\overline{x_1}-\overline{x_2} \\ \overline{p_r}=\frac{m_1\overline{p_1}-m_2\overline{p_2}}{m_1+m_2} \end{cases} \quad \begin{cases} \overline{x_{cm}}=\frac{m_1\overline{x_1}+m_2\overline{x_2}}{m_1+m_2} \\ \overline{p_{cm}}=\overline{p_1}+\overline{p_2} \end{cases} \]
Dati gli operatori $S$ e $P$ tali che $<\overline{x_1},\overline{x_2} | P | \phi > =\phi(-\overline{x_1},-\overline{x_2})$ e $<\overline{x_1},\overline{x_2} | S | \phi > =\phi(\overline{x_2},\overline{x_1})$ mi viene chiesto di determinare l'azione di questi operatori sulla funzioni d'onda nella base delle coordinate del centro di massa e relativa, " e scrivendo queste ultime in coordinate sferiche".
Ho calcolato l'azione degli operatori parità e scambio su $x_r$ e $x_{cm}$ e quindi posso esprimere l'azione di $P$ e $S$ sulle funzioni $\phi(x_r,x_{cm})$ ma il passaggio alle coordinate sferiche non saprei incorporarlo, qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille in anticipo!
Ho un sistema a due corpi in cui ho già diviso moto relativo e moto del centro di massa con le solite relazioni:
\[ \begin{cases} \overline{x_r}=\overline{x_1}-\overline{x_2} \\ \overline{p_r}=\frac{m_1\overline{p_1}-m_2\overline{p_2}}{m_1+m_2} \end{cases} \quad \begin{cases} \overline{x_{cm}}=\frac{m_1\overline{x_1}+m_2\overline{x_2}}{m_1+m_2} \\ \overline{p_{cm}}=\overline{p_1}+\overline{p_2} \end{cases} \]
Dati gli operatori $S$ e $P$ tali che $<\overline{x_1},\overline{x_2} | P | \phi > =\phi(-\overline{x_1},-\overline{x_2})$ e $<\overline{x_1},\overline{x_2} | S | \phi > =\phi(\overline{x_2},\overline{x_1})$ mi viene chiesto di determinare l'azione di questi operatori sulla funzioni d'onda nella base delle coordinate del centro di massa e relativa, " e scrivendo queste ultime in coordinate sferiche".
Ho calcolato l'azione degli operatori parità e scambio su $x_r$ e $x_{cm}$ e quindi posso esprimere l'azione di $P$ e $S$ sulle funzioni $\phi(x_r,x_{cm})$ ma il passaggio alle coordinate sferiche non saprei incorporarlo, qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Io ti ho risposto qualche giorno fa, ma per mia ignoranza non vedo la risposta.
Per caso hai risolto? Se no ti "ri-rispondo".
Per caso hai risolto? Se no ti "ri-rispondo".
No alla fine no, anche la risposta non ricordo di averla vista ):
La parità P cambia i segni dei vettori $\overline{x_1},\overline{x_2}$.
Se cambi il segno alle posizioni dei due corpi, allora anche $\overline{x_{cm}},\overline{x_r}$ cambiano segno.
Questo significa che, così come $P\psi(\overline{x_1},\overline{x_2})=\psi(-\overline{x_1},-\overline{x_2})$, hai che $P\psi(\overline{x_r},\overline{x_{cm}})=\psi(-\overline{x_r},-\overline{x_{cm}})$.
Adesso tu puoi descrivere i vettori $\overline{x_r},\overline{x_{cm}}$ con le coordinate sferiche, ovvero:
$\overline{x_r}->(x_r,\theta_r,\phi_r)$ ed $\overline{x_{cm}}->(x_{cm},\theta_{cm},\phi_{cm})$.
Se mandi $\overline{x_r}->-\overline{x_r}$, allora devi mandare $x_r->x_r, \theta_r->\pi-\theta_r$ (perché devi fare una riflessione rispetto al piano x-y per cambiare il segno della coordinata z), $\phi_r->\phi_r+\pi$ (perché devi fare una rotazione attorno a z di \pi per cambiare i segni di x,y senza modificare quello di z).
Perciò, se descrivi $\overline{x_r},\overline{x_{cm}}$ con le coordinate sferiche, allora hai che:
$\psi(\overline{x_r},\overline{x_{cm}})=\psi(x_r,\theta_r,\phi_r,x_{cm},\theta_{cm},\phi_{cm})$
Quindi:
$P\psi(\overline{x_r},\overline{x_{cm}})=P\psi(x_r,\theta_r,\phi_r,x_{cm},\theta_{cm},\phi_{cm})=\psi(x_r,\pi-\theta_r,\phi_r+\pi,x_{cm},\pi-\theta_{cm},\phi_{cm}+\pi)$
Nella tua notazione:
Quando scrivo $\psi(\overline{x_1},\overline{x_2})$, intendo $<\overline{x_1},\overline{x_2}|\psi>$ $=\psi(\overline{x_1},\overline{x_2})$ e per
$P\psi(\overline{x_1},\overline{x_2})=\psi(-\overline{x_1},-\overline{x_2})$, intendo $<\overline{x_1},\overline{x_2}|P|\psi>$ $=\psi(-\overline{x_1},-\overline{x_2})$
Se cambi il segno alle posizioni dei due corpi, allora anche $\overline{x_{cm}},\overline{x_r}$ cambiano segno.
Questo significa che, così come $P\psi(\overline{x_1},\overline{x_2})=\psi(-\overline{x_1},-\overline{x_2})$, hai che $P\psi(\overline{x_r},\overline{x_{cm}})=\psi(-\overline{x_r},-\overline{x_{cm}})$.
Adesso tu puoi descrivere i vettori $\overline{x_r},\overline{x_{cm}}$ con le coordinate sferiche, ovvero:
$\overline{x_r}->(x_r,\theta_r,\phi_r)$ ed $\overline{x_{cm}}->(x_{cm},\theta_{cm},\phi_{cm})$.
Se mandi $\overline{x_r}->-\overline{x_r}$, allora devi mandare $x_r->x_r, \theta_r->\pi-\theta_r$ (perché devi fare una riflessione rispetto al piano x-y per cambiare il segno della coordinata z), $\phi_r->\phi_r+\pi$ (perché devi fare una rotazione attorno a z di \pi per cambiare i segni di x,y senza modificare quello di z).
Perciò, se descrivi $\overline{x_r},\overline{x_{cm}}$ con le coordinate sferiche, allora hai che:
$\psi(\overline{x_r},\overline{x_{cm}})=\psi(x_r,\theta_r,\phi_r,x_{cm},\theta_{cm},\phi_{cm})$
Quindi:
$P\psi(\overline{x_r},\overline{x_{cm}})=P\psi(x_r,\theta_r,\phi_r,x_{cm},\theta_{cm},\phi_{cm})=\psi(x_r,\pi-\theta_r,\phi_r+\pi,x_{cm},\pi-\theta_{cm},\phi_{cm}+\pi)$
Nella tua notazione:
Quando scrivo $\psi(\overline{x_1},\overline{x_2})$, intendo $<\overline{x_1},\overline{x_2}|\psi>$ $=\psi(\overline{x_1},\overline{x_2})$ e per
$P\psi(\overline{x_1},\overline{x_2})=\psi(-\overline{x_1},-\overline{x_2})$, intendo $<\overline{x_1},\overline{x_2}|P|\psi>$ $=\psi(-\overline{x_1},-\overline{x_2})$
Ok penso di aver capito grazie. Quindi, se ho capito bene, lo stesso procedimento posso applicarlo anche nel caso in cui volessi vedere l'azione dell'operatore di parità sulle funzioni d'onda $\phi(\overline{x_1},\overline{x_2})$ in coordinate sferiche scrivendole come $\phi(r_1,\theta_1,\varphi_1, r_2,\theta_2,\varphi_2)$ .
Grazie!
Grazie!
Si, non c'è niente di particolare da capire. Solo che rappresenti i vettori delle posizioni in coordinate sferiche anziché cartesiane
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