Operatore quantità di moto in MQ
Salve, sto studiando l'operatore quantità di moto in MQ, in particolare sono un po' bloccato sulla dimostrazione della sua hermiticità. In linea di principio è semplice: si integra per parti e si ottiene:
$\int \bar\psi_1 (\frac{d}{dq}\psi_2) dq = \int (\frac{d}{dq}(\bar\psi_1 \psi_2) - (\frac{d}{dq}\bar\psi_1)\psi_2) dq = -\int \bar\psi_2 (\frac{d}{dq}\psi_1) dq$
(tutti gli integrali si intendono fra -infinito e +infinito). Questo implica che: $\int \frac{d}{dq}(\bar\psi_1 \psi_2) dq = 0$
e questo è ciò che non capisco a fondo. In generale, questo viene giustificato dicendo che "si assume che le funzioni vadano a zero all'infinito", ma la cosa non mi convince: per es. $e^-\abs(x)$ va a zero all'infinito, ma $\int_-\infty^\infty e^-\abs(x) dx = 2$.
Un altro motivo che ho trovato è che si suppone che le funzioni "siano a quadrato sommabile", ma la cosa mi dice poco. Immagino che la spiegazione sia molto facile, ma c'è qualcosa che mi sfugge.
C'è qualcuno che mi può dare una dritta?
Grazie
$\int \bar\psi_1 (\frac{d}{dq}\psi_2) dq = \int (\frac{d}{dq}(\bar\psi_1 \psi_2) - (\frac{d}{dq}\bar\psi_1)\psi_2) dq = -\int \bar\psi_2 (\frac{d}{dq}\psi_1) dq$
(tutti gli integrali si intendono fra -infinito e +infinito). Questo implica che: $\int \frac{d}{dq}(\bar\psi_1 \psi_2) dq = 0$
e questo è ciò che non capisco a fondo. In generale, questo viene giustificato dicendo che "si assume che le funzioni vadano a zero all'infinito", ma la cosa non mi convince: per es. $e^-\abs(x)$ va a zero all'infinito, ma $\int_-\infty^\infty e^-\abs(x) dx = 2$.
Un altro motivo che ho trovato è che si suppone che le funzioni "siano a quadrato sommabile", ma la cosa mi dice poco. Immagino che la spiegazione sia molto facile, ma c'è qualcosa che mi sfugge.
C'è qualcuno che mi può dare una dritta?
Grazie
Risposte
Ciao, quella dimostrazione è sbagliata. Dove l'hai trovata?
Ciao, l'ho trovata in un testo di Peter Woit che ho trovato in rete e che sto usando per approfondire l'argomento. Lo trovi a https://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf. Riporto di seguito il brano in questione:
Perchè dici che è sbagliata?
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Perchè dici che è sbagliata?
Hai sbagliato a trascrivere l’ultimo passaggio 
(hai messo il coniugato su $psi_2$ invece che su $psi_1$).
Inoltre, con quel procedimento, hai solo dimostrato che l’operatore derivata è antihermitiano (il testo lo specifica, “skew adjoint”). Ovviamente, il fatto che l’impulso sia hermitiano segue immediatamente aggiungendo il fattore $-ih$, ma vista così la dimostrazione di prima sembrava incompleta.
Bene, passiamo alla tua domanda. Ti basta notare che $int_{-oo}^{oo} d/{dq} (\bar psi_1 psi_2) dq = (\bar psi_1 psi_2)|_{-oo}^{oo}$
Quindi, come vedi, il fatto che le funzioni d’onda si annullino all’infinito ti assicura che quel termine sia uguale a zero. Insomma, non ti serve che si annulli l’integrale della funzione d’onda.
Funzioni “a quadrato sommabile” o “a quadrato integrabile” significa semplicemente che sono elementi dello spazio di Hilbert $L^2$, quello introdotto dall’autore all’inizio del paragrafo, cioè che l’integrale $int_{-oo}^{oo} |psi|^2 dq $ assume un valore finito, e quindi che tali funzioni sono normalizzabili
Il testo dice “assumendo che vadano a zero” perchè in realtà non tutte le funzioni a quadrato sommabile si annullano all'infinito. Ma quelle che si incontrano in MQ in genere lo fanno, quindi non c’è da preoccuparsi
(hai messo il coniugato su $psi_2$ invece che su $psi_1$). Inoltre, con quel procedimento, hai solo dimostrato che l’operatore derivata è antihermitiano (il testo lo specifica, “skew adjoint”). Ovviamente, il fatto che l’impulso sia hermitiano segue immediatamente aggiungendo il fattore $-ih$, ma vista così la dimostrazione di prima sembrava incompleta.
Bene, passiamo alla tua domanda. Ti basta notare che $int_{-oo}^{oo} d/{dq} (\bar psi_1 psi_2) dq = (\bar psi_1 psi_2)|_{-oo}^{oo}$
Quindi, come vedi, il fatto che le funzioni d’onda si annullino all’infinito ti assicura che quel termine sia uguale a zero. Insomma, non ti serve che si annulli l’integrale della funzione d’onda.
Funzioni “a quadrato sommabile” o “a quadrato integrabile” significa semplicemente che sono elementi dello spazio di Hilbert $L^2$, quello introdotto dall’autore all’inizio del paragrafo, cioè che l’integrale $int_{-oo}^{oo} |psi|^2 dq $ assume un valore finito, e quindi che tali funzioni sono normalizzabili
Il testo dice “assumendo che vadano a zero” perchè in realtà non tutte le funzioni a quadrato sommabile si annullano all'infinito. Ma quelle che si incontrano in MQ in genere lo fanno, quindi non c’è da preoccuparsi
Grazie mille! Avevo pensato anch'io a qualcosa del genere, ma mi sembrava troppo semplice... 
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