Operatore quantita di moto
Ciao, non riesco a capire come mai l'operatore quantita di moto abbia l'espressione: $P=-ih/(2pi)*(delta/(deltax))$. Come si deriva l'espressione $delta/(deltax)$? È come devo interpretarla? Grazie
Risposte
Se
\[
\langle x \rangle =\int \psi^{*}(x)x\psi(x)\mbox{d}x
\]
è il valore di aspettazione della coordinata \(x\) allora seguendo la relazione classica \(p=m\dot{x}\) si scrive
\[
\langle p \rangle=m\frac{d}{dt}\langle x \rangle
\]
e si ricava
\[
\langle p \rangle=\int \psi^{*}(x)\frac{-ih}{2\pi}\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\mbox{d}x
\]
Quindi si ricava un operatore. L'operatore di derivata rispetto ad \(x\) moltiplicato per una costante. Guarda il Gasiorowicz pag. 49 del pdf link. Se non sei sicuro di cosa significhi ti consiglio di dare un'occhiata al capitolo Postulates of Quantum Mechanics del Cohen.
\[
\langle x \rangle =\int \psi^{*}(x)x\psi(x)\mbox{d}x
\]
è il valore di aspettazione della coordinata \(x\) allora seguendo la relazione classica \(p=m\dot{x}\) si scrive
\[
\langle p \rangle=m\frac{d}{dt}\langle x \rangle
\]
e si ricava
\[
\langle p \rangle=\int \psi^{*}(x)\frac{-ih}{2\pi}\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\mbox{d}x
\]
Quindi si ricava un operatore. L'operatore di derivata rispetto ad \(x\) moltiplicato per una costante. Guarda il Gasiorowicz pag. 49 del pdf link. Se non sei sicuro di cosa significhi ti consiglio di dare un'occhiata al capitolo Postulates of Quantum Mechanics del Cohen.
grazie mille!! Mi sembra proprio cio che cercavo!! ho guardato il link che mi hai dato e sono gia bloccato: come si risolve l'integrale che compare nella 2.23 a pag 32?? Questo e il primo dubbio ora provo ad andare avanti...
...purtroppo anche tutto lo sviluppo di pag.49 non l'ho capito...se riuscite a spiegarmelo ve ne sarei veramente grato.
"richard84":Deriva due volte la \((2.22)\) rispetto ad \(x\) e sostituiscila nell'integrale che devi risolvere.
grazie mille!! Mi sembra proprio cio che cercavo!! ho guardato il link che mi hai dato e sono gia bloccato: come si risolve l'integrale che compare nella 2.23 a pag 32?? Questo e il primo dubbio ora provo ad andare avanti...
Correggo la seconda formula del primo post che ho scritto. \(\langle x \rangle\) va derivato rispetto al tempo.
\[
\frac{d}{dt}\int f(x)\mbox{d}x\mbox{ con } \int\frac{d}{dt}f(x)\mbox{d}x
\]
Poi usi link
\[
\frac{d}{dt}(\psi^{*}x\psi)=\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}x\psi+\psi^{*} x\frac{\partial \psi}{\partial t}
\]
Come dice il libro in \(x\) non c'è dipendenza esplicita da \(t\) e quindi non va derivata. Adesso puoi sostituire le derivate rispetto al tempo usando l'equazione di Schrodinger \((3.1)\)
\[
\begin{split}
i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}&=g(x,t) \\
\frac{\partial \psi}{\partial t}&=\frac{1}{i\hbar} g(x,t) \\
\end{split}
\]
per ottenere quell'integrale successivo (usa le proprietà del complesso coniugato per scrivere \(\psi^{*}\) dalla precedente link). Per quanto riguarda quell'espressione più lunga a pag. 49 devi esplicitare il terzo membro sempre usando Leibniz e verificare che sia uguale al secondo. Allo stesso modo verifica che il secondo sia uguale al primo e così sostituisci l'espressione nell'integrale. Probabilmente dove dice hence the integrand has the form devi solo svolgere quel calcolo che segue subito dopo per ottenere il risultato finale.
"richard84":Per prima cosa scambi
...purtroppo anche tutto lo sviluppo di pag.49 non l'ho capito...se riuscite a spiegarmelo ve ne sarei veramente grato.
\[
\frac{d}{dt}\int f(x)\mbox{d}x\mbox{ con } \int\frac{d}{dt}f(x)\mbox{d}x
\]
Poi usi link
\[
\frac{d}{dt}(\psi^{*}x\psi)=\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}x\psi+\psi^{*} x\frac{\partial \psi}{\partial t}
\]
Come dice il libro in \(x\) non c'è dipendenza esplicita da \(t\) e quindi non va derivata. Adesso puoi sostituire le derivate rispetto al tempo usando l'equazione di Schrodinger \((3.1)\)
\[
\begin{split}
i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}&=g(x,t) \\
\frac{\partial \psi}{\partial t}&=\frac{1}{i\hbar} g(x,t) \\
\end{split}
\]
per ottenere quell'integrale successivo (usa le proprietà del complesso coniugato per scrivere \(\psi^{*}\) dalla precedente link). Per quanto riguarda quell'espressione più lunga a pag. 49 devi esplicitare il terzo membro sempre usando Leibniz e verificare che sia uguale al secondo. Allo stesso modo verifica che il secondo sia uguale al primo e così sostituisci l'espressione nell'integrale. Probabilmente dove dice hence the integrand has the form devi solo svolgere quel calcolo che segue subito dopo per ottenere il risultato finale.
Grazie ancora!! Sono sotto esami ma appena ho un attimo provo a studiarmi un attimo bene la tua spiegazione...e nel caso qualcosa non sia chiaro riscrivo un post qua sopra!
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