Operatore hamiltoniano in forma matriciale

[Ingenium1]

Ciao a tutti, sto cominciando ad affrontare problemi di meccanica quantistica multidimensionali, e mi sono imbattuto in questo:

Data l'hamiltoniana per un rotatore rigido sferico:


$ H = alpha[(L_+)^2+(L_-)^2]+ beta[(L_+L_-)+(L_- +L_+)]+gamma(L_z)^2 $

Che coinvolge gli operatori gradino e l'operatore corrispondente alla terza componente del momento angolare, mi dice che il sistema si trova in un autostato relativo all'autovalore l=1 e che se ordiniamo gli autovettori di l=1 come

$ |1,1>, |1,0>,|1,-1> $

H diventa:

$ (h/(2pi))^2( ( 2beta+gamma , 0 , 2alpha ),( 0 , 4beta , 0 ),( 2alpha , 0 , 2beta+gamma ) ) $

Non riesco a capire perché, mi aiutate?...
Vi ringrazio

[Ingenium1]

Come al solito me la canto e me la suono. Credo di aver trovato soluzione al quesito, vorrei conferma.
In sostanza ha applicato l'operatore H, tenendo presente l'azione degli operatori scaletta e di Lz, successivamente sui tre autostati relativi ad l=1, per poi sistemare i risultati nelle tre righe, ordinate opportunamente (ogni colonna si riferisce ai termini che operano sugli autostati ordinati come sopra).

E' giusto?

[dissonance]

Secondo me si. Questa più che meccanica quantistica è algebra lineare, si tratta di scrivere la matrice associata all'operatore \(H\) ristretto all'autospazio corrispondente a \(\ell=1\). Il che si fa come dici tu. Ora non so se i conti siano giusti

[Ingenium1]

Grazie!