Operatore hamiltoniano in forma matriciale
Ciao a tutti, sto cominciando ad affrontare problemi di meccanica quantistica multidimensionali, e mi sono imbattuto in questo:
Data l'hamiltoniana per un rotatore rigido sferico:
$ H = alpha[(L_+)^2+(L_-)^2]+ beta[(L_+L_-)+(L_- +L_+)]+gamma(L_z)^2 $
Che coinvolge gli operatori gradino e l'operatore corrispondente alla terza componente del momento angolare, mi dice che il sistema si trova in un autostato relativo all'autovalore l=1 e che se ordiniamo gli autovettori di l=1 come
$ |1,1>, |1,0>,|1,-1> $
H diventa:
$ (h/(2pi))^2( ( 2beta+gamma , 0 , 2alpha ),( 0 , 4beta , 0 ),( 2alpha , 0 , 2beta+gamma ) ) $
Non riesco a capire perché, mi aiutate?...
Vi ringrazio
Data l'hamiltoniana per un rotatore rigido sferico:
$ H = alpha[(L_+)^2+(L_-)^2]+ beta[(L_+L_-)+(L_- +L_+)]+gamma(L_z)^2 $
Che coinvolge gli operatori gradino e l'operatore corrispondente alla terza componente del momento angolare, mi dice che il sistema si trova in un autostato relativo all'autovalore l=1 e che se ordiniamo gli autovettori di l=1 come
$ |1,1>, |1,0>,|1,-1> $
H diventa:
$ (h/(2pi))^2( ( 2beta+gamma , 0 , 2alpha ),( 0 , 4beta , 0 ),( 2alpha , 0 , 2beta+gamma ) ) $
Non riesco a capire perché, mi aiutate?...
Vi ringrazio
Risposte
Come al solito me la canto e me la suono. Credo di aver trovato soluzione al quesito, vorrei conferma.
In sostanza ha applicato l'operatore H, tenendo presente l'azione degli operatori scaletta e di Lz, successivamente sui tre autostati relativi ad l=1, per poi sistemare i risultati nelle tre righe, ordinate opportunamente (ogni colonna si riferisce ai termini che operano sugli autostati ordinati come sopra).
E' giusto?
In sostanza ha applicato l'operatore H, tenendo presente l'azione degli operatori scaletta e di Lz, successivamente sui tre autostati relativi ad l=1, per poi sistemare i risultati nelle tre righe, ordinate opportunamente (ogni colonna si riferisce ai termini che operano sugli autostati ordinati come sopra).
E' giusto?
Secondo me si. Questa più che meccanica quantistica è algebra lineare, si tratta di scrivere la matrice associata all'operatore \(H\) ristretto all'autospazio corrispondente a \(\ell=1\). Il che si fa come dici tu. Ora non so se i conti siano giusti
Grazie!
