Onde Stazionarie e Vettore di Poynting
Salve,
Vorrei l'aiuto di qualcuno riguardo a questo facile problema sulle onde E.M. (eserczio di un compito di Fisca 2)
Si considerino due onde piane propaganti in direzioni opposte in un mezzo di indice di rifrazione $n$.
$\vecE=vece_y*E(sin(kx-\omegat)+sin(kx+\omegat))$
È noto il valore di $\omega$ di $E$ e l'indice di rifrazione $n$
Calcolare il campo magnetico
Calcolare il vettore di Poynting mediato nel tempo
Trovare i piani nodali (ovvero i piani su cui il campo è nullo a tutti i tempi) del campo elettrico e del campo magnetico.
Diciamo che il primo e il terzo punto li ho svolti (credo correttamente), vi spiego brevemente i passaggi fatti:
Ho "trasformato" il seno in coseno, (aggiungendo all'argomento $pi/2$),
Sono passato alla notazione esponenziale (con esponente imaginario)
Ho sommato le due onde e poi ho calcolato la parte reale del numero così ottenuto.
Il risultato finale è che il campo elettrico è:
$\vecE=\vece_y2Esin(kx)cos(\omegat)$
In maniera analaga, tenendo conto della relazione tra il modulo del campo elettrico e il modulo del campo magnetico (e della direzione di propagazione dell'onda) ho calcolato il campo magnetico, da cui è facile ricavare il valore di $x$ per cui $\vecB=0$ (nodi del campo magnetico).
Il mio problema è: ma se l'onda è stazionaria il trasporto di energia (vettore di poynting) non è ad ogni istante identicamente nullo, e quindi la media temporale è identicamente nulla?
Mi sembra molto strano che in un esercizio del compito ci sia una domanda cosi banale, forse sto sbgaliando da qualche parte, voi che dite?
Vorrei l'aiuto di qualcuno riguardo a questo facile problema sulle onde E.M. (eserczio di un compito di Fisca 2)
Si considerino due onde piane propaganti in direzioni opposte in un mezzo di indice di rifrazione $n$.
$\vecE=vece_y*E(sin(kx-\omegat)+sin(kx+\omegat))$
È noto il valore di $\omega$ di $E$ e l'indice di rifrazione $n$
Calcolare il campo magnetico
Calcolare il vettore di Poynting mediato nel tempo
Trovare i piani nodali (ovvero i piani su cui il campo è nullo a tutti i tempi) del campo elettrico e del campo magnetico.
Diciamo che il primo e il terzo punto li ho svolti (credo correttamente), vi spiego brevemente i passaggi fatti:
Ho "trasformato" il seno in coseno, (aggiungendo all'argomento $pi/2$),
Sono passato alla notazione esponenziale (con esponente imaginario)
Ho sommato le due onde e poi ho calcolato la parte reale del numero così ottenuto.
Il risultato finale è che il campo elettrico è:
$\vecE=\vece_y2Esin(kx)cos(\omegat)$
In maniera analaga, tenendo conto della relazione tra il modulo del campo elettrico e il modulo del campo magnetico (e della direzione di propagazione dell'onda) ho calcolato il campo magnetico, da cui è facile ricavare il valore di $x$ per cui $\vecB=0$ (nodi del campo magnetico).
Il mio problema è: ma se l'onda è stazionaria il trasporto di energia (vettore di poynting) non è ad ogni istante identicamente nullo, e quindi la media temporale è identicamente nulla?
Mi sembra molto strano che in un esercizio del compito ci sia una domanda cosi banale, forse sto sbgaliando da qualche parte, voi che dite?
Risposte
Scusa, potresti postare anche $B$ ? Grazie.
Ho rifatto i calcoli perchè ho perso il foglio di ieri 
!
Ho ottenuto $\vecB=-\vece_zE/v*sin(\omegat)cos(kx)$, con $v=c/n$ ovvero la velocità della lcue nel mezzo!
Giusto?? ho fatto qualche errore??
P.s.
Ho scritto una imprecisione nello svolgimento del problema per passare dal seno al coseno HO TOLTO E NON AGGIUNTO, una fase di pi/2.
!Ho ottenuto $\vecB=-\vece_zE/v*sin(\omegat)cos(kx)$, con $v=c/n$ ovvero la velocità della lcue nel mezzo!
Giusto?? ho fatto qualche errore??
P.s.
Ho scritto una imprecisione nello svolgimento del problema per passare dal seno al coseno HO TOLTO E NON AGGIUNTO, una fase di pi/2.
Se i tuoi $bb E$ e $bb B$ sono giusti e miei calcoli lo sono altrettanto, allora il vettore di P. dovrebbe essere $bb S = 1 / \mu bb E xx bb B= (-E^2 / {2 v \mu} sin 2 kx sin 2 \omega t , 0 , 0)$ la cui media nel tempo è nulla. Non altrettanto il valore quadratico medio, per cui effetti energetici sulla materia dovrebbero esserci ... tipo riscaldamento, polarizzazione ecc. (ma non ti fidare, sentiamo anche qualcun altro, sono troppo arrugginito in queste cose 
)
)
Intanto grazie mille per la risposta.
In effetti usando la definizione di $\vecS$ (vettore di poynting) si trova quello che mi hai scritto tu.
Vorrei però capire se è gisuto il ragionamente da me fatto:
Siccome stiamo trattando un'onda stazionaria il trasporto di energia è nullo, allora il vettore di poynting (mediato nel tempo) è nullo.
O se è necesarrio svolgere i calcoli per arrivare a questa conclusione.
E poi la tua risposta mi ha fatto venire una domanda:
Se siamo nel vuoto, il problema si risolve in maniare del tutto analoga, in quel caso però non ci possono essere "effetti energetici" sulla materia, come si accorda ciò con il fatto che la soluzione del problema e praticamente uguale ammesso di porre $c=v$? È solo una questione di energia fornita dalle sorgenti che producono l'onda? Nel primo caso (onda che si propaga nel mezzo) deve essere fornita maggiore energia che nel secondo (onda che si propaga nel vuoto) per compensare le perdite? (dovute ad esempio alla produzione di calore)!
Grazie ancora per la pazienza!
In effetti usando la definizione di $\vecS$ (vettore di poynting) si trova quello che mi hai scritto tu.
Vorrei però capire se è gisuto il ragionamente da me fatto:
Siccome stiamo trattando un'onda stazionaria il trasporto di energia è nullo, allora il vettore di poynting (mediato nel tempo) è nullo.
O se è necesarrio svolgere i calcoli per arrivare a questa conclusione.
E poi la tua risposta mi ha fatto venire una domanda:
Se siamo nel vuoto, il problema si risolve in maniare del tutto analoga, in quel caso però non ci possono essere "effetti energetici" sulla materia, come si accorda ciò con il fatto che la soluzione del problema e praticamente uguale ammesso di porre $c=v$? È solo una questione di energia fornita dalle sorgenti che producono l'onda? Nel primo caso (onda che si propaga nel mezzo) deve essere fornita maggiore energia che nel secondo (onda che si propaga nel vuoto) per compensare le perdite? (dovute ad esempio alla produzione di calore)!
Grazie ancora per la pazienza!
Tu affermi "... Siccome stiamo trattando un'onda stazionaria il trasporto di energia è nullo ...". A me risulta invece che, per un'onda piana $f = f(t - x / c)$, il vettore di P. vale $bb S = k E^2 (1,0,0)$, quindi non nullo...
Ma a quanto ho capito studiando sul Mencuccini, un'onda stazionaria non è rigorosamente un'onda, in quanto non è una funzione del tipo $f=f(x-ct)$, infatti sia nel campo magnetico che in quello elettrico da me calcolati $\omega$ e $k$ non compaiono nella forma $E=E(kx-\omegat)$...
Io la vedrei così. Qui hai la sovrapposizione (in verso opposto) di due onde piane. Ciascuna onda trasporta la propria energia lungo il proprio verso. In un dato punto, il vettore di P. non è nullo, oscilla con valore medio nullo, ma la densità di energia è come sempre $W prop (E^2 + B^2)$.
Ok, credo di aver capito! Allora sbagliavo ad affermare che il trasporto di energia è nullo (perchè non è istanteneamente diverso da 0), ma potevo cmq concludere che la media del vettore di P. è nulla, in quanto, in un intervallo di tempo pari al prerido, l'energia trasportata in un verso da un onda, è pari a quella trasportata nel verso opposto dall'altra onda.
D'accordo.
Grazie ancora!
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