Onde piane: il parametro p

dissonance
In questo post una "onda piana" è una espressione di tipo

\[e^{i (\omega t - \mathbf{k}\cdot \mathbf{x})}.\]

In notazione relativistica (con la metrica \(g_{\mu \nu}=\mathrm{diag}(1, -1, -1, -1)\)) questa espressione si riscrive

\[e^{ip_\mu x^\mu},\]

con \(p=(\omega, \mathbf{k})\). Cos'è questo \(p\)? C'entra qualcosa il quadrivettore della quantità di moto, che pure si indica di solito con lo stesso simbolo?

Risposte
yoshiharu
"dissonance":
Cos'è questo \(p\)? C'entra qualcosa il quadrivettore della quantità di moto, che pure si indica di solito con lo stesso simbolo?


Si'.
Se ci fai caso, la base delle esponenziali costituisce una base per una rappresentazione del gruppo delle traslazioni, il quale e' generato ovviamente dall'impulso. E' per questo che vengono fuori in maniera naturale nel problema dei campi nel vuoto.

dissonance
Ah ecco ecco, quindi c'è qualcosa sotto. Benissimo!

Purtroppo parli di argomenti nuovi per me quindi ho bisogno di andarmi a studiare le definizioni prima di poter digerire bene quanto dici. In ogni caso, vorrei chiederti en passant: ma "impulso" e "quantità di moto" sono sinonimi? Se così fosse allora io direi, andando ad intuito, che quella \(p\) contiene le informazioni sulla quantità di moto e sull'energia trasportata dall'onda. Mi sbaglio?

yoshiharu
"dissonance":
In ogni caso, vorrei chiederti en passant: ma "impulso" e "quantità di moto" sono sinonimi?


In questo contesto si' (in italiano).
Nel contesto originale nel quale e' stato inventato il termine, con 'impulso' (sott. 'di una forza') si intendeva l'integrale su un integrale di tempo infinitesimo della forza trasmessa da un urto. Per cui la quantita' di moto variava tra prima e dopo l'urto di una quantita' uguale all'impulso della forza.
Devo dire che nella letteratura inglese si usa il termine "momentum", che indica la quantita' di moto, e in meccanica quantistica viene promosso ad operatore sullo spazio degli stati.
Le esponenziali sono gli stati che risolvono l'equazione

[tex]\hat P_\mu \ | \phi \rangle = P_\mu \ | \phi \rangle[/tex]

(a sx c'e' un operatore, a dx uno scalare),
che e' la versione infinitesima della equazione che definisce una rappresentazione del gruppo delle traslazioni.

Se così fosse allora io direi, andando ad intuito, che quella \(p\) contiene le informazioni sulla quantità di moto e sull'energia trasportata dall'onda. Mi sbaglio?


Non sbagli.

dissonance
Great! Ora non mi resta che studiare per benino la teoria, ma qualche idea già me la sono fatta, grazie a queste ottime risposte. Grazie!

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