Onde armoniche, serie di Fourier

[smaug1]

Allora la serie di fourier nel corso di analisi 1 non l'ho fatta, quindi so soltanto che permette di rappresentare una funzione armonica come combinazione lineare di funzioni sinusoidali. (Tra l'altro quale è la differenza tra onde sinusoidali e armoniche? non è stato detto in classe...) Il prof ha considerato un provino cilindrico, alla cui base ha applicato una sollezione di pressione $\Delta p (t)$

Poi ha continuato scrivendo:

$\Delta p (t) = \Delta p (t + T)$ quel $T$ sarebbe il periodo? e poi $G (t) = G (t + T)$ che sarebbe il modulo di scorrimento? però non abbiamo uno sforzo di taglio, bensì uno sforzo normale...come mai?

Poi ha usato la serie di fourier $G(t) = a_o + \sum_(n=1)^oo a_n \co (n \omega_o\t) + b_n \sin (n\ omega_o\ t)$ che lui ha dato per buona, senza spoegarne il significato!

Poi prende la funzione perturbazione:

$\xi(x,t) = A \sin(k(x - vt))$

sappiamo che vale essendo armonica? vale:

$\xi(x',t) = \xi (x', t + T)$

Quindi ha scritto $A \sin (kx - kvt) = A \sin (kx - kvt - kvT)$

Poi ha scritto che $kvT = 2\pi$ come mai? e che $vT = \lambda$ cioè? perchè? cos'è? quanta fame di conoscenza!

e dalle due ha detto che $k = (2\pi) / \lambda$ che si chiama vettore d'onda, ma cosa rappresenta?....e da queste poi è facile dire che $kv = omega$ che sarebbe la pulsazione d'onda!

Grazie mille!!!

[dissonance]

Intanto se dici "funzione armonica" di solito intendi un'altra cosa che non c'entra assolutamente nulla con tutta questa storia. Per indicare le onde sinusoidali penso sia meglio dire "onde armoniche" oppure "armoniche elementari" oppure "onde monocromatiche", insomma arrangiati un po' a seconda del contesto e non ti affezionare troppo ai termini perché sono estremamente ballerini. Per quanto riguarda il resto si tratta di giocare un poco con queste relazioni:

data un'onda armonica di equazione \(u=A \cos (\omega t- k x)\), dove denotiamo con \(A\) l'ampiezza massima dell'onda, con \(\omega\) la pulsazione e con \(k\) il numero angolare d'onda, definiamo

[*:beuisvxc]la frequenza \(\nu=\omega/2\pi\), pari al numero di cicli per unità di tempo attraverso un fissato punto di controllo. E' quello che misureresti fermandoti in un punto e contando il numero di creste che ti attraversano in un secondo;[/*:m:beuisvxc]
[*:beuisvxc]la lunghezza d'onda \(\lambda= 2\pi / k\), pari alla distanza tra due creste consecutive. La puoi misurare fotografando l'onda e misurando la distanza tra le creste nella fotografia;[/*:m:beuisvxc]
[*:beuisvxc]la velocità dell'onda \(v=\lambda \nu = \omega /k \), pari alla velocità con cui un osservatore dovrebbe camminare lungo la direzione di propagazione dell'onda per non osservare alcuna perturbazione. Questa formula si ricava facilmente differenziando la fase e imponendo che il differenziale si annulli:

\[d(\omega t - k x)=0 \iff \omega dt -k dx=0 \iff \frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{k}.\][/*:m:beuisvxc][/list:u:beuisvxc]
Queste sono le relazioni usate dal tuo professore. In sostanza noi riusciamo a comprendere bene il significato delle grandezze frequenza, lunghezza d'onda, velocità, però nelle formule compaiono invece \(k\) e \( \omega\) che sono le loro versioni angolari: per esempio a \(\nu\) (numero di cicli per unità di tempo) corrisponde \(\omega\) (numero di radianti per unità di tempo). Inoltre se le onde sono tridimensionali allora occorre specificare una direzione di propagazione, oltre ai parametri già citati. Succede allora che \(k\) diventa un vettore e l'equazione dell'onda diventa

\[u=A\cos(\omega t- \mathbf{k}\cdot \mathbf{x}).\]

(Più spesso si usa il formalismo con gli esponenziali complessi, te ne accorgerai). Il significato fisico di \(\mathbf{k}\) è sempre quello: la sua direzione è la direzione di propagazione dell'onda e il suo modulo è \(2\pi /\lambda\), dove \(\lambda\) è la lunghezza dell'onda armonica tridimensionale (si dice anche onda piana, perché i suoi fronti d'onda sono dei piani).

Quanto a Fourier, è roba che non si può spiegare qua in due righe. Grossolanamente possiamo dire che *tutte* le funzioni periodiche si possono scrivere come combinazioni lineari infinite di onde armoniche (e le funzioni non periodiche si possono scrivere come somme integrali di onde armoniche). Una spiegazione rough'n'ready adatta allo studio della Fisica e molto interessante c'è su Feynman, Lectures on Physics, capitolo "Beats". Il capitolo precedente e il capitolo successivo sono altre letture molto interessanti per capire i fenomeni ondulatori.

[smaug1]

Grazie mille!