Onda stazionaria
Ciao, mi trovo con un dubbio legato all'onda stazionaria.
Svolgendo gli esercizi ho trovato una frase che non riesco a giustificare dal punto di vista teorico, mi è stato infatti spiegato che l'onda stazionaria nasce dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva.
Nello svolgimento di un esercizio ho letto che $k>0$ nelle onde stazionarie mentre per quelle propagative $k in RR$, non ci avevo posto molta attenzione finora ma non capisco il motivo.
La soluzione dell'onda stazionaria richiede che i punti nodali rispettino: $sinKL=0$ ove L sia la lunghezza tra i due vincoli che tendono la corda. Questo discretizza le soluzioni con n=1,2,3 ma di fatto non dovrebbero anche essere validi per $n=-1,-2,-3$?
Perché richiede solo positivi?
Svolgendo gli esercizi ho trovato una frase che non riesco a giustificare dal punto di vista teorico, mi è stato infatti spiegato che l'onda stazionaria nasce dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva.
Nello svolgimento di un esercizio ho letto che $k>0$ nelle onde stazionarie mentre per quelle propagative $k in RR$, non ci avevo posto molta attenzione finora ma non capisco il motivo.
La soluzione dell'onda stazionaria richiede che i punti nodali rispettino: $sinKL=0$ ove L sia la lunghezza tra i due vincoli che tendono la corda. Questo discretizza le soluzioni con n=1,2,3 ma di fatto non dovrebbero anche essere validi per $n=-1,-2,-3$?
Perché richiede solo positivi?
Risposte
Ma intendi $k in \mathbb{ Z}$ anziché $k in \mathbb{ R}$.? Poi non ho capito di quali equazioni stiamo parlando.
Scusa hai ragione, intendevo $K in NN$, dice interi positivi il prof. di esercitazione. E non capisco perché non possa essere un interno negativo quando stazionarie.
Non ci sono equazioni, parlavo del vincolo imposto su $2Asin(kx) cos (omegat)$, corda tesa tra 0 e L in cui impongo le condizioni al contorno.
Non ci sono equazioni, parlavo del vincolo imposto su $2Asin(kx) cos (omegat)$, corda tesa tra 0 e L in cui impongo le condizioni al contorno.
Per capire bene il significato della tua domanda e provare a darti una risposta, ripercorro velocemente come si arriva a quella condizione. Intanto l'equazione delle onde viene risolta per separazione delle variabili facendo riferimento ad una costante di separazione $-k^2$ che è reale e negativa per avere soluzioni limitate nel tempo. In queso passaggio k può ancora essere un qualunque numero reale.
L'equazione nel tempo ottenuta per separazione delle variabili è l'equazione del moto armonico. La soluzione è comunque data da una combinazione lineare di $cos(omega*t)$ e $sin(omega*t)$, ove $omega = c*|k|$ essendo c la velocità di propagazione dell'onda. Il motivo per cui si prende la sola soluzione positiva di $omega$ è spiegato in un mio altro post.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1#p8574891
L'altra equazione è l'equazione di Helmotz nello spazio. Anche in questo caso se siamo nel caso monodimensionale siamo di fronte ad un moto armonico.
Ancora una volta il suo integrale generale è dato da una combinazione lineare di $cos(k*x)$ e $sin(k*x)$ e sempre per il mio post precedente anche qui si può assumere k positivo.
Dopodichè imponendo le condizioni al contorno si ottiene la condizione su k.
Una spiegazione molto più completa la puoi trovare qui:
https://www.ge.infn.it/~zanghi/fisicamoderna/Note01.pdf
Spero di esserti stato utile.
L'equazione nel tempo ottenuta per separazione delle variabili è l'equazione del moto armonico. La soluzione è comunque data da una combinazione lineare di $cos(omega*t)$ e $sin(omega*t)$, ove $omega = c*|k|$ essendo c la velocità di propagazione dell'onda. Il motivo per cui si prende la sola soluzione positiva di $omega$ è spiegato in un mio altro post.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1#p8574891
L'altra equazione è l'equazione di Helmotz nello spazio. Anche in questo caso se siamo nel caso monodimensionale siamo di fronte ad un moto armonico.
Ancora una volta il suo integrale generale è dato da una combinazione lineare di $cos(k*x)$ e $sin(k*x)$ e sempre per il mio post precedente anche qui si può assumere k positivo.
Dopodichè imponendo le condizioni al contorno si ottiene la condizione su k.
Una spiegazione molto più completa la puoi trovare qui:
https://www.ge.infn.it/~zanghi/fisicamoderna/Note01.pdf
Spero di esserti stato utile.
Interessante, non l'avevo mai vista l'onda stazionaria con helmoltz, devo approfondire meglio.
A me l'onda stazionaria era spiegata come $phi(x,t)=A[sin(kx+omegat)+sin(kx-omegat)]$
ossia somma di regressiva e progressiva nella stessa regione di spazio che portava a
$2Asinkxcosomegat$ e su cui impongo le condizioni al contorno dei nodi a o e L (lunghezza della regione di spazio in cui sono).
ho compreso dal tuo post linkato perché si abbia omega positivo (e quindi anche nella stazionaria vista anche come ho scritto io qui sopra poitivo omega).
Ma non ho compreso il perché k lo sia, cioè come dedurlo dal tuo post.
A me l'onda stazionaria era spiegata come $phi(x,t)=A[sin(kx+omegat)+sin(kx-omegat)]$
ossia somma di regressiva e progressiva nella stessa regione di spazio che portava a
$2Asinkxcosomegat$ e su cui impongo le condizioni al contorno dei nodi a o e L (lunghezza della regione di spazio in cui sono).
ho compreso dal tuo post linkato perché si abbia omega positivo (e quindi anche nella stazionaria vista anche come ho scritto io qui sopra poitivo omega).
Ma non ho compreso il perché k lo sia, cioè come dedurlo dal tuo post.
Il fatto è che comunque stiamo parlando dello stesso tipo di equazione. Dal punto di vista puramente matematico il fatto che sia un andamento armonico nello spazio anziché nel tempo non ne altera le proprietà generali.
In pratica la soluzione dell'equazione di Helmoltz è la stessa del moto armonico con le seguenti sostituzioni:
$t rightarrow x$
$omega rightarrow k$
e quindi si può assumere $k$ positivo per gli stessi motivi per cui lo era $omega$.
In pratica la soluzione dell'equazione di Helmoltz è la stessa del moto armonico con le seguenti sostituzioni:
$t rightarrow x$
$omega rightarrow k$
e quindi si può assumere $k$ positivo per gli stessi motivi per cui lo era $omega$.
Ah ok, ora mi è chiaro! 
grazie.
In effetti io come ti dicevo l'avevo visto come somma di onde repgressive e progressive, non so perché nel mio corso di base non mi sia stato fatto vedere con helmoltz. Mi piaceva più come formalismo
grazie.In effetti io come ti dicevo l'avevo visto come somma di onde repgressive e progressive, non so perché nel mio corso di base non mi sia stato fatto vedere con helmoltz. Mi piaceva più come formalismo
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