Onda Sinusoidale Longitudinale e Gas

[Catanzani1]

Salve a tutti, scusate, ma non riesco a capire un passaggio in un problema:

"In una colonna di gas di densità \(\displaystyle \rho \) si propaga un'onda sonora di tipo sinusoidale di pulsazione \(\displaystyle \omega \). La sua velocità di propagazione è v. Se in un punto della colonna un ricevitore acustico misura un'onda di pressione di ampiezza \(\displaystyle \Delta P_{0} \), qual è l'ampiezza dello spostamento longitudinale associato all'onda? "

Prima di tutto si scrive la formula dell'onda longitudinale progressiva:

\(\displaystyle \alpha(x,t)=Asin(kx-\omega t) \)

In teoria ci andrebbe anche la fase, ma il libro non la mette, forse la intende 0 ??

A questo punto si applica la legge che permette di ricavare la variazione di pressione provocata da un'onda in un gas:

\(\displaystyle \Delta P=-\gamma P\frac{\partial\alpha}{\partial x}=-\gamma kPAcos(kx-\omega t) \)

Ora arriva il punto che non ho ben capito. Il libro procede elaborando questa formula in:

\(\displaystyle \Delta P_{0}=\gamma kPA \)

come se il coseno desse come risultato -1. Non capisco se è andato a sostituire qualche valore, come ad esempio lo 0, oppure no. Potreste darmi delle spiegazioni?

Vi ringrazio.
Distinti saluti

Enrico Catanzani

[Sk_Anonymous]

A rigore, se non si vuole perdere tempo nell'introdurre un riferimento spazio-temporale, sarebbe meglio introdurre anche una fase arbitraria:

$[alpha(x,t)=Asin(kx-omegat+phi)]$

Tuttavia, non è questo il nocciolo della questione. Quando calcoli la seguente derivata parziale:

$[-gammaP(delalpha)/(delx)=-gammaPkAcos(kx-omegat+phi)]$

siccome il testo parla di ampiezza dello spostamento longitudinale, il massimo spostamento longitudinale positivo per intenderci, è implicito che tu debba valutare quell'espressione quando:

$[cos(kx-omegat+phi)=-1]$

Del resto, quella è proprio la definizione di ampiezza. Questo significa che, se si fosse introdotto il riferimento spazio-temporale di cui parlavo, la posizione $[x_0]$ del punto in esame e l'istante $[t_0]$ in cui lo spostamento longitudinale è massimo e positivo avrebbero soddisfatto la seguente uguaglianza:

$[cos(kx_0-omegat_0+phi)=-1]$

Veramente, esistono infiniti istanti $[t_0+(2kpi)/omega]$ che soddisfano quell'uguaglianza, dato il carattere sinusoidale del fenomeno.

[Catanzani1]

Grazie mille, chiaro e preciso.
Buon fine settimana.

Regards

[Catanzani1]

Scusami, ma mi è sorto un altro dubbio; il libro parla di ampiezza \(\displaystyle \Delta P_{0} \), e poi chiede la massima ampiezza dello spostamento longitudinale. Non ho ben chiaro questi due concetti, visto che tendo a confonderli... ma non si parla della stessa onda? Quale è la differenza tra l'ampiezza che da il testo e quella che invece occorre trovare, la A ??

Grazie e scusa per il disturbo

[Catanzani1]

O meglio, scusami, vorrebbe dire che oltre alla perturbazione longitudinale di cui devo trovare l'ampiezza è associata un'altra perturbazione di pressione di cui ho l'ampiezza massima \(\displaystyle \Delta P_{0} \).

E' corretto questo discorso?

Grazie

[Sk_Anonymous]

Non ho controllato la formula, ma se $[alpha(x,t)]$ ha le dimensioni di una lunghezza, io l'ho dato per scontato, la tua osservazione è corretta.