Onda EM, una domanda molto semplice sull'onda stazionaria
Ciao, vorrei chiedere una delucidazione in merito a una caratteristica descritta dal mio libro sull'onda stazionaria elettromagnetica.
Il libro in questa introduzione scrive che un'onda incidente su un conduttore perfetto è riflessa, dovendo il conduttore essere a potenziale nullo allora sulla superficie di esso se ammettiamo un onda con parte di campo elettrico E oscillante // alla sup. del conduttore allorail conduttore deduciamo debba generare un campo contrario tale che la somma dei due sia nulla (cioè un'onda opposta all'altra).
Poi dice, formalmente possiamo mostrare questa intuizione così:
(mettiamo sia l'asse in cui oscilla l'onda l'asse x e che si prpaghi lungo z)
$E_(ix)=E_1e^(i(kz-omegat))$ (con i intendo incidente)
$E_(ix)'=E_2e^(i(kz+omegat))$ (onda regressiva)
Poiché la descrizione nello spazio non occupato dal conduttore è dato dalla somma delle onde regressiva e progressiva avrò ponendo il sdr con origine sull'interfaccia tra conduttore e aria:
$E_(ix)+E_(ix)'=0$
se ci poniamo in z=0, dato che l'uguaglianza sopra deve valere per ogni "t" avremo che le componenti
$E_1=-E_2$ (**) quindi ho questa condizione sul valore delle ampiezze.
E poi sfrutta questo nella somma: $E_(ix)+E_(ix)'=E_1e^(i(kz-omegat))+E_2e^(i(kz+omegat))=E_1e^(i(kz-omegat))-E_1e^(i(kz+omegat))....$ (dove nell'ultima si è usata la condizione (**).
E qui non mi torna una cosa, perché nello studio delle onde meccaniche ricordo bene che l'ampiezza di quella incidente non è assolutamente uguale a meno l'ampiezza quella riflessa.
Infatti prendendo due onde di ugual ampiezza (assumiamo positiva A), la dexscrizione è:
$A[sin(kx+omegat)+sin(kx-omegat)]=...=2Asinkxcosomegat$
e come si vede anche non assumendo ampiezze opposte in segno si ha che per x uguale a zero la condizione notale (per via di sink0=0) è sempre soddisfatta.
Non ho sfruttato: A[sin(kx+ωt)-sin(kx-ωt)]
Quindi perché dire che l'onda EM riflessa deve verificare $E_1=-E_2$, quando in realtà per via del seno giungo a soluzione comunque come mostrato.
Il libro in questa introduzione scrive che un'onda incidente su un conduttore perfetto è riflessa, dovendo il conduttore essere a potenziale nullo allora sulla superficie di esso se ammettiamo un onda con parte di campo elettrico E oscillante // alla sup. del conduttore allorail conduttore deduciamo debba generare un campo contrario tale che la somma dei due sia nulla (cioè un'onda opposta all'altra).
Poi dice, formalmente possiamo mostrare questa intuizione così:
(mettiamo sia l'asse in cui oscilla l'onda l'asse x e che si prpaghi lungo z)
$E_(ix)=E_1e^(i(kz-omegat))$ (con i intendo incidente)
$E_(ix)'=E_2e^(i(kz+omegat))$ (onda regressiva)
Poiché la descrizione nello spazio non occupato dal conduttore è dato dalla somma delle onde regressiva e progressiva avrò ponendo il sdr con origine sull'interfaccia tra conduttore e aria:
$E_(ix)+E_(ix)'=0$
se ci poniamo in z=0, dato che l'uguaglianza sopra deve valere per ogni "t" avremo che le componenti
$E_1=-E_2$ (**) quindi ho questa condizione sul valore delle ampiezze.
E poi sfrutta questo nella somma: $E_(ix)+E_(ix)'=E_1e^(i(kz-omegat))+E_2e^(i(kz+omegat))=E_1e^(i(kz-omegat))-E_1e^(i(kz+omegat))....$ (dove nell'ultima si è usata la condizione (**).
E qui non mi torna una cosa, perché nello studio delle onde meccaniche ricordo bene che l'ampiezza di quella incidente non è assolutamente uguale a meno l'ampiezza quella riflessa.
Infatti prendendo due onde di ugual ampiezza (assumiamo positiva A), la dexscrizione è:
$A[sin(kx+omegat)+sin(kx-omegat)]=...=2Asinkxcosomegat$
e come si vede anche non assumendo ampiezze opposte in segno si ha che per x uguale a zero la condizione notale (per via di sink0=0) è sempre soddisfatta.
Non ho sfruttato: A[sin(kx+ωt)-sin(kx-ωt)]
Quindi perché dire che l'onda EM riflessa deve verificare $E_1=-E_2$, quando in realtà per via del seno giungo a soluzione comunque come mostrato.
Risposte
Intanto, l'ampiezza di un'onda è, per definizione, positiva. Motivo per il quale non si dovrebbe argomentare in termini di ampiezze, piuttosto, in termini di fasi. Ad ogni modo, nel caso generale, assumendo che l'onda incidente si propaghi per $[z gt= 0]$ nel verso opposto all'asse z:
In definitiva:
In particolare, se $[\phi_1=0]$, ritrovi la versione che ti è più familiare:
se $[\phi_1=\pi/2]$, ritrovi la versione del libro:
Onda incidente
$E_1(z,t)=Asin(kz+\omegat+\phi_1)$
Onda riflessa
$E_2(z,t)=Asin(kz-\omegat+\phi_2)$
Onda risultante
$E(z,t)=2Asin(kz+(\phi_1+\phi_2)/2)cos(\omegat+(\phi_1-\phi_2)/2)$
Condizione
$E(0,t)=0$
Relazione tra $\phi_1$ e $\phi_2$
$[sin((\phi_1+\phi_2)/2)=0] rarr [(\phi_1+\phi_2)/2=k\pi] rarr [\phi_2=-\phi_1+2k\pi]$
In definitiva:
Onda incidente
$E_1(z,t)=Asin(kz+\omegat+\phi_1)$
Onda riflessa
$E_2(z,t)=Asin(kz-\omegat-\phi_1+2k\pi)=Asin(kz-\omegat-\phi_1)$
In particolare, se $[\phi_1=0]$, ritrovi la versione che ti è più familiare:
Onda incidente
$E_1(z,t)=Asin(kz+\omegat)$
Onda riflessa
$E_2(z,t)=Asin(kz-\omegat)$
se $[\phi_1=\pi/2]$, ritrovi la versione del libro:
Onda incidente
$E_1(z,t)=Asin(kz+\omegat+\pi/2)$
Onda riflessa
$E_2(z,t)=Asin(kz-\omegat-\pi/2)=-Asin(kz-\omegat+\pi/2)$
Così si che è chiaro, in effetti avevo dedotto male ragionando sulle ampiezze, le componenti dei due campi sono opposte per questo motivo di opposizione di fase tra incidente e riflessa e questo accade sia che $phi_1$ sia $0$ che $pi/2$ per la disparità del seno si nota ponendo z=0.
Ultima domanda, ma nell'ultima equazione ultimo passaggi non dovrebbe essere: $-Asin(-kz+omegat+pi/2)$?
Ultima domanda, ma nell'ultima equazione ultimo passaggi non dovrebbe essere: $-Asin(-kz+omegat+pi/2)$?
Per essere più aderente alle argomentazioni del libro, ho preferito:
$E_2(z,t)=Asin(kz-\omegat-\pi/2)=Asin(kz-\omegat+\pi/2-\pi)=-Asin(kz-\omegat+\pi/2)$
Grazie ancora!
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