Onda che attraversa una spira quadrata
Il campo elettrico di un'onda piana di frequenza $nu$ si propaga nel vuoto secondo la legge \[\mathbf{E}(x,t)=E_0(\cos(kx-\omega t)\mathbf{e}_y-\sin(kx-\omega t)\mathbf{e}_z).\] a) Calcolare il vettore d'onda e l'espressione del campo magnetico.
Ovviamente si ha: \(\displaystyle k=\omega/v=2\pi\nu/c \). Il campo magnetico è dato da: \[\mathbf{B}=1/\mathbf{v}\times\mathbf{E}=-\frac{E_0}{c}(\sin(kx-\omega t)\mathbf{e}_y+\cos(kx-\omega t)\mathbf{e}_z).\] b) Il valore di $E_0$ sapendo che tra gli istanti $t$ e \(\displaystyle t' \)attraverso una superficie di area $S$ giacente nel piano $x=0$ viene trasportata una quantità di energia $W$.
So che \(\displaystyle E_0^2=2I_0\sqrt{\mu_0/\epsilon_0} \); per trovare l'intensità posso fare \(\displaystyle I=P/S=W/S(t'-t) \).
c) Il valore massimo della fem indotta in una spira quadrata di lato $a$ posta nel piano $xy$.
Se la spira è posta nel piano $xy$ allora \(\displaystyle d\mathbf{S}=\mathbf{e}_zdS\), ovvero: \[\varphi=\int \mathbf{B}\cdot\mathbf{e}_zdS=-\frac{E_0}{c}\int_0^a\int_0^a\cos(kx-\omega t)dxdy=\frac{E_0a}{kc}(\sin(ka-\omega t)-\sin(\omega t)), \\ \Rightarrow -\dot\varphi=-\frac{E_0a\omega}{kc}(\cos(ka-\omega t)-\cos(\omega t))=fem; \] adesso però ho un problema con il suo valore massimo, che dovrebbe essere quando il primo coseno vale $-1$ e il secondo $1$, ma queste condizioni non possono valere contemporaneamente...
Ovviamente si ha: \(\displaystyle k=\omega/v=2\pi\nu/c \). Il campo magnetico è dato da: \[\mathbf{B}=1/\mathbf{v}\times\mathbf{E}=-\frac{E_0}{c}(\sin(kx-\omega t)\mathbf{e}_y+\cos(kx-\omega t)\mathbf{e}_z).\] b) Il valore di $E_0$ sapendo che tra gli istanti $t$ e \(\displaystyle t' \)attraverso una superficie di area $S$ giacente nel piano $x=0$ viene trasportata una quantità di energia $W$.
So che \(\displaystyle E_0^2=2I_0\sqrt{\mu_0/\epsilon_0} \); per trovare l'intensità posso fare \(\displaystyle I=P/S=W/S(t'-t) \).
c) Il valore massimo della fem indotta in una spira quadrata di lato $a$ posta nel piano $xy$.
Se la spira è posta nel piano $xy$ allora \(\displaystyle d\mathbf{S}=\mathbf{e}_zdS\), ovvero: \[\varphi=\int \mathbf{B}\cdot\mathbf{e}_zdS=-\frac{E_0}{c}\int_0^a\int_0^a\cos(kx-\omega t)dxdy=\frac{E_0a}{kc}(\sin(ka-\omega t)-\sin(\omega t)), \\ \Rightarrow -\dot\varphi=-\frac{E_0a\omega}{kc}(\cos(ka-\omega t)-\cos(\omega t))=fem; \] adesso però ho un problema con il suo valore massimo, che dovrebbe essere quando il primo coseno vale $-1$ e il secondo $1$, ma queste condizioni non possono valere contemporaneamente...
Risposte
"Nagato":
adesso però ho un problema con il suo valore massimo, che dovrebbe essere quando il primo coseno vale $-1$ e il secondo $1$, ma queste condizioni non possono valere contemporaneamente...
Ci sono le simpatiche formule di prosaferesi, nel caso quelle che danno $cos(alpha) - cos(beta)$ e restituiscono un prodotto.
Giusto, facendo così si calcola facilmente, grazie.
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