Omeomorfismo sull'insieme attrattore ricostruito
Gentili signori,
sono un programmatore coinvolto in un progetto riguardante i sistemi dinamici. Posseggo nozioni di matematica e fisica, tuttavia non avanzate, pertanto vi prego di avere pazienza se dovessi incappare in qualche errore grossolano. Vi illustro brevemente il mio problema.
Sono alle prese con la ricostruzione dello spazio delle fasi a partire da una serie temporale abbastanza particolare: ogni scalare della serie e' un numero intero positivo molto grande, dell'ordine di 2^1200+ ; ho gia' ottenuto il time delay e la dimensione di embedding tramite mutua informazione e algoritmo dei falsi vicini, rispettivamente, implementati da software da me appositamente scritto per trattare con tali grandi numeri.
Il problema riguarda invece la rappresentazione grafica dell'attrattore: posto che gli elementi della serie, opportunamente distanziati nel tempo, siano le coordinate dei vettori dell'attrattore nello spazio ricostruito, non c'e' alcuna maniera generica di rappresentare queste su un display grafico, a causa dei noti limiti di dimensione e risoluzione. Di conseguenza avrei ideato un piccolo stratagemma intuitivo per aggirare questo problema:
Dal momento che il teorema di Takens ci assicura che l'attrattore ricostruito sia mappato in uno spazio euclideo R^k, ognuno dei miei "grandi numeri" verrebbe ad essere un elemento in R (diciamo anche R+). Al fine di ridurre il 'range' (termine improprio, scusate) dei numeri, avrei pensato di applicare la funzione logaritmo, che in quanto isomorfismo da R+ a R, sarebbe un omeomorfismo se questi ultimi due insiemi venissero intesi come spazi topologici, ed in quanto omeomorfismo, conserverebbe le proprieta' topologiche dell'attrattore, cosicche' la mia rappresentazione in 'coordinate logaritmiche' sarebbe equivalente a quella in 'coordinate con grandi numeri'. Si pensi a tutto cio' come a un modo semplice per 'comprimere' le coordinate, senza ricorrere al troncamento degli interi, cosa che comporterebbe ingente perdita di informazione.
La mia preoccupazione e' che il mio ragionamento sia profondamente scorretto od almeno presenti qualche errore logico di cui non riesco ad accorgermi, non essendo io un matematico e non avendo modo e forse il coraggio di provare una dimostrazione formale accurata (cosa tral'altro semplice per un esperto, credo). Per questo motivo mi affido alla benevolenza di chiunque si offra volontario nel delucidare il mio dubbio. Ne sarei infinitamente grato.
Nell'attesa di qualunque risposta, vi ringrazio dell'attenzione.
sono un programmatore coinvolto in un progetto riguardante i sistemi dinamici. Posseggo nozioni di matematica e fisica, tuttavia non avanzate, pertanto vi prego di avere pazienza se dovessi incappare in qualche errore grossolano. Vi illustro brevemente il mio problema.
Sono alle prese con la ricostruzione dello spazio delle fasi a partire da una serie temporale abbastanza particolare: ogni scalare della serie e' un numero intero positivo molto grande, dell'ordine di 2^1200+ ; ho gia' ottenuto il time delay e la dimensione di embedding tramite mutua informazione e algoritmo dei falsi vicini, rispettivamente, implementati da software da me appositamente scritto per trattare con tali grandi numeri.
Il problema riguarda invece la rappresentazione grafica dell'attrattore: posto che gli elementi della serie, opportunamente distanziati nel tempo, siano le coordinate dei vettori dell'attrattore nello spazio ricostruito, non c'e' alcuna maniera generica di rappresentare queste su un display grafico, a causa dei noti limiti di dimensione e risoluzione. Di conseguenza avrei ideato un piccolo stratagemma intuitivo per aggirare questo problema:
Dal momento che il teorema di Takens ci assicura che l'attrattore ricostruito sia mappato in uno spazio euclideo R^k, ognuno dei miei "grandi numeri" verrebbe ad essere un elemento in R (diciamo anche R+). Al fine di ridurre il 'range' (termine improprio, scusate) dei numeri, avrei pensato di applicare la funzione logaritmo, che in quanto isomorfismo da R+ a R, sarebbe un omeomorfismo se questi ultimi due insiemi venissero intesi come spazi topologici, ed in quanto omeomorfismo, conserverebbe le proprieta' topologiche dell'attrattore, cosicche' la mia rappresentazione in 'coordinate logaritmiche' sarebbe equivalente a quella in 'coordinate con grandi numeri'. Si pensi a tutto cio' come a un modo semplice per 'comprimere' le coordinate, senza ricorrere al troncamento degli interi, cosa che comporterebbe ingente perdita di informazione.
La mia preoccupazione e' che il mio ragionamento sia profondamente scorretto od almeno presenti qualche errore logico di cui non riesco ad accorgermi, non essendo io un matematico e non avendo modo e forse il coraggio di provare una dimostrazione formale accurata (cosa tral'altro semplice per un esperto, credo). Per questo motivo mi affido alla benevolenza di chiunque si offra volontario nel delucidare il mio dubbio. Ne sarei infinitamente grato.
Nell'attesa di qualunque risposta, vi ringrazio dell'attenzione.
Risposte
Non conosco nulla di sistemi dinamici, ma la tecnica che dici è molto comune, non è altro che un passaggio a coordinate logaritmiche. Dal punto di vista topologico (ma anche dal punto di vista differenziale) la rappresentazione in coordinate cartesiane e la rappresentazione in coordinate logaritmiche sono equivalenti.
"dissonance":
Non conosco nulla di sistemi dinamici, ma la tecnica che dici è molto comune, non è altro che un passaggio a coordinate logaritmiche. Dal punto di vista topologico (ma anche dal punto di vista differenziale) la rappresentazione in coordinate cartesiane e la rappresentazione in coordinate logaritmiche sono equivalenti.
La ringrazio molto della pronta risposta. Praticamente, senza volerlo, ho reinventato la ruota. In effetti non ci avevo pensato prima ma cio' che rende possibili le scale logaritmiche, alla luce di quanto mi ha detto, e' proprio l'omeomorfismo tra gli spazi topologici, anche se in letteratura non sono riuscito a trovarvi riferimenti cosi' approfonditi. Evidentemente non c'e' bisogno di dimostrazione perche' di per se stessa scontata, ma volevo essere certo della conservazione delle proprieta' topologiche, cosa fondamentale per poter studiare in modo corretto l'attrattore.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo