Oggetto che si muove in campo magnetico e elettrico

[francalanci]

Nel semispazio x>0 sono presenti un campo elettrostatico uniforme di intensità E0, parallelo all’asse
z e un campo magnetostatico uniforme di intensità B0 anch’esso parallelo all’asse z. Un oggetto
puntiforme (massa m, carica q) entra a t=0 nel semispazio x>0 attraverso l’origine (0,0,0) arrivando
con velocità v=v0(1, 0, 0). Determinare le coordinate del punto da cui l’oggetto riemerge dal
semispazio, l’istante a cui riemerge e il vettore velocità con cui riemerge. Rispondere poi alle stesse
domande, nell’ipotesi che la velocità di ingresso sia w=v0(1/√2, 1/√2, 0).


Ho dei dubbi su come risolvere questo esercizio io ho provato a impostare le forze che dovrebbero essere una lungo l'asse y dovuta alla forza magnetica e una lungo z del campo elettrico qunidi ho scritto $F_y(t)=qvB$ e $F_z(t)=q*E$ e $F_x(t)=0$
ricavarsi da queste tre equazioni il moto dell'oggetto nello spazio e quindi poi trovare il punto in cui l'oggetto esce dal semispazio in pratica devo trovare il momento in cui l'oggetto si trova in x<0? e qui non saprei cosa dovrei imporre per trovare tale cordinate e il ragionamento in partenza è giusto?

[alle.fabbri]

Certo. Scrivi le equazioni del moto e le risolvi. Otterrai quindi tre leggi orarie: $x(t)$, $y(t)$ e $z(t)$. Il resto vien da se imponendo la disequazione $x(t)<0$ rispetto a $t$. Ti torna?

[francalanci]

quindi le equazioni di moto sono $z(t)=1/2*(qE)/(m)*t^2$ poi $y(t)=1/2*(qvB)/(m)*t^2$ ora per x è corretto metterci un $x_0$ dato che il testo dice che T=0 si trova nel semipiano x>0 quindi ho scritto $x(t)=v_0*t+x_0$ e mi risolovo la disequazione $x(t)<0$ che dovrebbe venire $t<-x_0/v_0$ poi sostituisco nelle altre equazioni e trovo il punto ma se a t=0 il punto si trovava nell'origine come facevo a determinare il punto in cui riemerge?

[alle.fabbri]

Quelle che hai scritto al massimo potrebbero essere le leggi orarie, non le equazioni del moto. Le equazioni del moto sono le equazioni differenziali che derivano dalla legge di Newton $\vec{F} = m \vec{a}$. Nel tuo caso siccome la forza è quella di Lorentz hai
$m \vec{a} = q \vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B}$
che scritta (il puntino è la derivata rispetto al tempo) in componenti diventa il sistema di equazioni
\(\begin{cases}
m \ddot{x} = q B_0 \, \dot{y} \\
m \ddot{y} = - q B_0 \, \dot{x} \\
m \ddot{z} = q E_0
\end{cases}\)
e, nel primo caso, le condizioni iniziali sono
\(\begin{cases}
x(0) = 0 \\
y(0) = 0 \\
z(0) = 0
\end{cases} \qquad
\begin{cases}
\dot{x}(0) = v_0 \\
\dot{y}(0) = 0 \\
\dot{z}(0) = 0
\end{cases}
\)
Sei capace di risolvere questo sistema?

[EDIT]
Corretto qualche errore di battitura
[\EDIT]