Oggetto che cade su un nastro trasportatore

[mie2mod]

Buonasera a tutti,
vorrei chiedere cortesemente il vostro aiuto per il seguente problema.

Un oggetto di massa M cade verticalmente da un altezza H su un nastro trasportatore che si muove a velocità V orizzontale. Determinare la velocità massima del nastro, oltre la quale si ha slittamento tra oggetto e nastro.

Non sono per niente certo di come si proceda. Penso si debba imporre la condizione che la forza d'attrito sia maggiore di quella (d'inerzia?) agente sull'oggetto al momento dell'urto-
La forza d'attrito sarà proporzionale alla forza d'impatto, che però non so determinare. Mentre quella d'inerzia dovrebbe essere proporzionale alla velocità V del nastro, ma anche in tal caso non so determinarla.

Grazie mille del vostro aiuto.

[mgrau]

A me sembra che ci sia sempre slittamento, almeno in linea di principio. L'oggetto che cade dovrebbe acquistare - istantaneamente - una velocità orizzontale $v$, il che richiede una accelerazione infinita, una forza infinita, ecc.

[professorkappa]

Si puo' risolvere se si lavora con le forze media
Intanto assumi che l'impatto sia totalmente anelastico.
Il corpo arriva con velocita' $v=sqrt(2gh)$ e si ferma.
Se l'urto avviene in un tempo $Deltat$, per il teorema dell'impulso, la reazione del nastro durante l'urto e' una forza media d'intensita $F=I/[Deltat]=[mv]/[Deltat]$. Quindi la forza massima di attrito al di sotto della quale il corpo non slitta e' mediamente $F_m=muI/[Deltat]=mu[msqrt(2gh)]/[Deltat]$.

Il corpo, d'altra parte, nell'intervallo $Deltat$, se non slitta, acquista in orizzontale una quantita' di moto $mV=F_aDeltat$, dove $F_a$ e' la forza d'attrito media.

Dovendo essere $F_a

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[mgrau]

@professorkappa
I calcoli sono ineccepibili, ma continuo a non capire cosa succede nell'intervallo $Deltat$. Secondo me, bisognerebbe guardare più a fondo il comportamento nel transitorio: considerare le deformazioni dell'oggetto e cose così. Se si considera l'oggetto come un corpo rigido, consentendogli solo una compressione verticale - come se fosse una molla che cade verticalmente, ma trasversalmente rigida - mi sembra inevitabile che nel momento del contatto - e poi, per quanto tempo? - ci sia strisciamento.

[professorkappa]

Purtroppo nell intervallo $Deltat$ non si puo' vedere nulla. L'andamento della reazione $F(t) e' incognito. E' il massimo della modellizzazione che riesco a fare per stare in linea con le ipotesi dell'esercizio.

[mie2mod]

Grazie mille ragazzi per il vostro aiuto.

Solo una domanda. Alla forza media d'impatto derivante dalla caduta non si dovrebbe aggiungere anche il peso dell'oggetto?
Alla fine anche il peso contribuisce alla reazione del nastro, alla quale è proporzionale la forza di attrito massima.

Infatti, nella formula finale, se h = 0, anche V = 0, ma non dovrebbe essere così perchè, se ho un oggetto di elevata massa che cade da un'altezza piccolissima, mi aspetto che la velocità V possa essere sufficientemente maggiore di zero prima che si verifichi slittamento.

Penso dunque che tutto si risolve se si assume un intervallo di tempo Δt in cui si verifica l'urto, dipendente dalla deformabilità degli oggetti.

Un'ultima cosa: la forza F = mV/Δt non sarebbe più corretto considerarla come una forza d'inerzia agente sull'oggetto per via della sua acquisita accelerazione, più che una forza d'attrito?

Grazie mille ancora