Nucleo terrestre, gravità e rotazione del pianeta.
Ho visto questo video in cui si vedono sfere di acqua in assenza di gravità che roteano su sé stesse:
http://www.youtube.com/watch?v=BxyfiBGCwhQ
E anche questo video in cui si parla della struttura cristallina del nucleo terrestre.
http://www.youtube.com/watch?v=JgICTkOKavw
In pratica gli ultimi studi rivelano che ad alte pressioni e temperature il nucleo (formato prevalentemente da ferro e nichel)
forma una foresta di cristalli dalla struttura allungata in direzione dei poli.
In pratica si teorizza (o si scopre) che non è tondo come viene comunemente pensato e descritto.
(http://en.wikipedia.org/wiki/Inner_core) (c'è addirittura chi ritiene sia cubico http://www.sciencedaily.com/releases/2008/02/080208091314.htm ma vabbè, lasciamo perdere )
Il mio dubbio riguarda le forze che intervengono nella formazione del pianeta.
In pratica in tutti i corsi di fisica la legge di gravitazione universale viene applicata tra corpi (considerati puntiformi)
ed è valida fintanto che i corpi si trovano ad una distanza maggiore di zero.
Quando un corpo non è puntiforme (come nel caso del pianeta) e l'altro si trova all'interno del primo
la legge cambia a al corso di fisica I ci dissero che bisogna considerare come effettivamente attrattiva solo la massa che si trova all'interno della sfera interna alla distanza che ci separa dal centro del primo corpo (nel nostro caso il pianeta).
Questo si è rivelato falso (http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_of_Earth#Depth) e gli ultimi studi dicono che
l' accellerazione di gravità ad una certa profondità è addirittura MAGGIORE di quella in superficie! ("The acceleration has its maximum at 0.5463 Earth radii and a value of 10.66 m/s²")
(COM'E possibile!!...ho studiato per nulla!?!)
Ultima osservazione:
Capisco che nel caso di una sfera di acqua in rotazione in assenza di gravità non siano osservabili fattori come l' accellerazione verso il centro dovuta alla massa per una questione di scala.
Vorrei però capire come mai al centro del pianeta (dove l'attrazione gravitazionale è notoriamente nulla) si sostiene che ci siano pressioni enormi dovute alla gravità (che non c'è).
Nel video della bolla d'acqua si capisce perfettamente come le componenti più pesanti vadano verso la superficie (a formare una specie di crosta) mentre quelle più leggere verso l'interno (a formare una specie di colonna centrale)
Grazie per l'attenzione,
attendo con impazienza qualsiasi commento o delucidazione.
http://www.youtube.com/watch?v=BxyfiBGCwhQ
E anche questo video in cui si parla della struttura cristallina del nucleo terrestre.
http://www.youtube.com/watch?v=JgICTkOKavw
In pratica gli ultimi studi rivelano che ad alte pressioni e temperature il nucleo (formato prevalentemente da ferro e nichel)
forma una foresta di cristalli dalla struttura allungata in direzione dei poli.
In pratica si teorizza (o si scopre) che non è tondo come viene comunemente pensato e descritto.
(http://en.wikipedia.org/wiki/Inner_core) (c'è addirittura chi ritiene sia cubico http://www.sciencedaily.com/releases/2008/02/080208091314.htm ma vabbè, lasciamo perdere )
Il mio dubbio riguarda le forze che intervengono nella formazione del pianeta.
In pratica in tutti i corsi di fisica la legge di gravitazione universale viene applicata tra corpi (considerati puntiformi)
ed è valida fintanto che i corpi si trovano ad una distanza maggiore di zero.
Quando un corpo non è puntiforme (come nel caso del pianeta) e l'altro si trova all'interno del primo
la legge cambia a al corso di fisica I ci dissero che bisogna considerare come effettivamente attrattiva solo la massa che si trova all'interno della sfera interna alla distanza che ci separa dal centro del primo corpo (nel nostro caso il pianeta).
Questo si è rivelato falso (http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_of_Earth#Depth) e gli ultimi studi dicono che
l' accellerazione di gravità ad una certa profondità è addirittura MAGGIORE di quella in superficie! ("The acceleration has its maximum at 0.5463 Earth radii and a value of 10.66 m/s²")
(COM'E possibile!!...ho studiato per nulla!?!)Ultima osservazione:
Capisco che nel caso di una sfera di acqua in rotazione in assenza di gravità non siano osservabili fattori come l' accellerazione verso il centro dovuta alla massa per una questione di scala.
Vorrei però capire come mai al centro del pianeta (dove l'attrazione gravitazionale è notoriamente nulla) si sostiene che ci siano pressioni enormi dovute alla gravità (che non c'è).
Nel video della bolla d'acqua si capisce perfettamente come le componenti più pesanti vadano verso la superficie (a formare una specie di crosta) mentre quelle più leggere verso l'interno (a formare una specie di colonna centrale)
Grazie per l'attenzione,
attendo con impazienza qualsiasi commento o delucidazione.
Risposte
"hal9000":
......al corso di fisica I ci dissero che bisogna considerare come effettivamente attrattiva solo la massa che si trova all'interno della sfera interna alla distanza che ci separa dal centro del primo corpo (nel nostro caso il pianeta).
Questo si è rivelato falso (http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_of_Earth#Depth) e gli ultimi studi dicono che
l' accellerazione di gravità ad una certa profondità è addirittura MAGGIORE di quella in superficie! ("The acceleration has its maximum at 0.5463 Earth radii and a value of 10.66 m/s²")
Ma hai letto bene quest'ultimo link che hai riportato? Non smentisce affatto quello che ti hanno insegnato!
Se leggi bene, ti accorgerai che viene detto che l'accelerazione gravitazionale verso il centro (e quindi la forza di attrazione gravitazionale) diminuisce linearmente con la distanza dal centro della terra (fino a essere nulla al centro) se la densità del materiale che costituisce la sfera fosse constante. Se invece la densità diminuisse linearmente al crescere del raggio (cioè aumentasse al diminuire del raggio) si avrebbe una diminuzione verso il centro non lineare. Se infine la densità in funzione del raggio varia in maniera diversa (come è il caso della Terra) ad esempio secondo il Preliminary Reference Earth Model (PREM) allora la forza di attrazione (e quindi l'accelerazione di gravità) avrebbe un punto di massimo ad una data profondità.
"hal9000":
Ultima osservazione:
Capisco che nel caso di una sfera di acqua in rotazione in assenza di gravità non siano osservabili fattori come l' accellerazione verso il centro dovuta alla massa per una questione di scala.
Vorrei però capire come mai al centro del pianeta (dove l'attrazione gravitazionale è notoriamente nulla) si sostiene che ci siano pressioni enormi dovute alla gravità (che non c'è).
(Accelerazione non "accellerazione" lo sottolineo perché anch'io fino alle scuole superiori ero convinto della doppia "l"...)
[EDIT]
Se anche la densità fosse costante, come detto prima la gravità diminuirebbe linearmente col raggio, ma non è vero che la pressione al centro sarebbe nulla (vedi la seconda parte di questo messaggio in questa stessa discussione).
"hal9000":
Vorrei però capire come mai al centro del pianeta (dove l'attrazione gravitazionale è notoriamente nulla) si sostiene che ci siano pressioni enormi dovute alla gravità (che non c'è).
"Faussone":
Se la densità fosse costante, come detto prima la gravità diminuirebbe linearmente col raggio, per cui è vero che non dovremmo avere pressioni elevate, ma questo vale solo se la densità fosse costante
Ciao, perchè ritieni che se la densità è costante le pressioni non dovrebbero essere elevate?
Supposta la Terra perfettamente sferica, a densità costante e posto $r=0$ al centro, se non ho sbagliato i calcoli risulta la seguente distribuzione di pressione:
\[p(r) = p({R_T}) + \frac{{\rho G{M_T}}}{{2R_T^3}}\left[ {1 - {{\left( {\frac{r}{{{R_T}}}} \right)}^2}} \right]\]
dove ho considerato la densità media
\[\rho = \frac{{{M_T}}}{{\frac{4}{3}\pi R_T^3}}\]
Si nota quindi che la pressione ha un andamento parabolico con massimo al centro della Terra e che cala man mano che ci si avvicina alla superficie.
Sostituendo i valori numerici per G, RT, MT risulta \[p(0) = P({R_T}) + 1.8{\rm{ Mbar}}\]
EDIT: ho modificato l'ultimo risultato, avevo fatto un errore algebrico
Questi sono stati i passaggi fondamentali del calcolo
- Bilancio di quantità di moto: $\rho \ddot x = div(S) + \rho f$
Ma
I punti della Terra sono fermi $\ddot x=0$
Per la simmetria sferica il tensore degli sforzi $S$ deve essere isotropo $div(S) = div( - pI) = - grad(p)$ con p dipendente al più dal raggio.
Scrivo il gradiente in coordinate sferiche $- grad(p) = - (dp)/(dr)\hat r$
Per il teorema di Gauss dell'elettrostatica applicato al campo gravitazionale (=forza di massa) $f = - (GM(r))/r^2\hat r$ con $(M(r))/r^3 = M_T/R_T^3$
Sostituendo tutto
\[0 = - \frac{{dp}}{{dr}}\hat r - \rho \frac{{G{M_T}}}{{R_T^3}}r \cdot \hat r\]
\[\frac{{dp}}{{dr}} = - \rho \frac{{G{M_T}}}{{R_T^3}}r\]
\[p({R_T}) - p(r) = - \frac{{\rho G{M_T}}}{{2R_T^3}}\left[ {{r^2} - R_T^2} \right]\]
\[p(r) = p({R_T}) + \frac{{\rho G{M_T}}}{{2R_T}}\left[ {1 - {{\left( {\frac{r}{{{R_T}}}} \right)}^2}} \right]\]
- Bilancio di quantità di moto: $\rho \ddot x = div(S) + \rho f$
Ma
I punti della Terra sono fermi $\ddot x=0$
Per la simmetria sferica il tensore degli sforzi $S$ deve essere isotropo $div(S) = div( - pI) = - grad(p)$ con p dipendente al più dal raggio.
Scrivo il gradiente in coordinate sferiche $- grad(p) = - (dp)/(dr)\hat r$
Per il teorema di Gauss dell'elettrostatica applicato al campo gravitazionale (=forza di massa) $f = - (GM(r))/r^2\hat r$ con $(M(r))/r^3 = M_T/R_T^3$
Sostituendo tutto
\[0 = - \frac{{dp}}{{dr}}\hat r - \rho \frac{{G{M_T}}}{{R_T^3}}r \cdot \hat r\]
\[\frac{{dp}}{{dr}} = - \rho \frac{{G{M_T}}}{{R_T^3}}r\]
\[p({R_T}) - p(r) = - \frac{{\rho G{M_T}}}{{2R_T^3}}\left[ {{r^2} - R_T^2} \right]\]
\[p(r) = p({R_T}) + \frac{{\rho G{M_T}}}{{2R_T}}\left[ {1 - {{\left( {\frac{r}{{{R_T}}}} \right)}^2}} \right]\]
scusate ho preso un'abbaglio 
Non è vero che per la simmetria sferica si può dire che il tensore delle tensioni è idrostatico (talvolta si dice anche sferico). si può solo dire che in coordinate sferiche $r,\theta ,\psi$ ha 3 componenti non nulle $\sigma _r,\sigma _\theta ,\sigma _\psi = \sigma _\theta$. Quindi abbiamo due tensioni incognite. In questo problema il bilancio di quantità di moto da solo un'equazione utile, e quindi non si riesce a risolvere il problema a meno di introdurre delle ipotesi sulla natura del materiale. Se si ipotizza che la Terra sia un materiale elastico lineare allora risulta che al centro la pressione è esattamente nulla per ogni pressione sulla superficie.
Infatti si trova con un po' di calcoli che l'andamento delle due tensioni $\sigma _r,\sigma _\theta$ al variare del raggio è del tipo \[\sigma(r) = A{r^a} + B{r^3}\] con A,B,a>0 che dipendono dalle costanti elastiche del materiale, dalla pressione esterna oltre che $G, R_T,M_T$. Da qui si vede che per $r$ tendente a $0$ la tensione si annulla.
Non è vero che per la simmetria sferica si può dire che il tensore delle tensioni è idrostatico (talvolta si dice anche sferico). si può solo dire che in coordinate sferiche $r,\theta ,\psi$ ha 3 componenti non nulle $\sigma _r,\sigma _\theta ,\sigma _\psi = \sigma _\theta$. Quindi abbiamo due tensioni incognite. In questo problema il bilancio di quantità di moto da solo un'equazione utile, e quindi non si riesce a risolvere il problema a meno di introdurre delle ipotesi sulla natura del materiale. Se si ipotizza che la Terra sia un materiale elastico lineare allora risulta che al centro la pressione è esattamente nulla per ogni pressione sulla superficie.
Infatti si trova con un po' di calcoli che l'andamento delle due tensioni $\sigma _r,\sigma _\theta$ al variare del raggio è del tipo \[\sigma(r) = A{r^a} + B{r^3}\] con A,B,a>0 che dipendono dalle costanti elastiche del materiale, dalla pressione esterna oltre che $G, R_T,M_T$. Da qui si vede che per $r$ tendente a $0$ la tensione si annulla.
"ralf86":
Ciao, perchè ritieni che se la densità è costante le pressioni non dovrebbero essere elevate?
Ho visto che ti sei risposto da te.
Volevo solo dire che io avevo fatto un ragionamento più ....terra Terra
Con le ipotesi di simmetria sferica infatti si trova facilmente, scrivendo l'equilibrio radiale di un pezzo di sfera infinitesima a distanza $r$ dal centro, che per la pressione deve valere:
$\frac{dp}{dr}= -G \frac{M_{"in"} rho(r)}{r^2}$
con $M_{"in"}$ massa interna al raggio $r$ e $rho(r)$ densità al raggio $r$.
Da quello si deduce facilmente la legge di variazione della pressione a $rho$ costante, e volendo anche la legge di variazione assumendo una legge di variazione per $rho(r)$.
Ho fatto un errore e ho modificato il primo post (vedi l' EDIT)
Cerco di fare un po' di ordine:
Anch'io Faussone inizialmente ho impostato il calcolo con la sola pressione (ipotesi di stato di tensione ovunque idrostatico) e mi esce una pressione enorme al centro ($1.8$ milioni di bar)
Poi mi sono accorto che era sbagliato percè la simmetria sferica non implica l'isotropia del tensore degli sforzi: servono due componenti di tensione. A questo punto però per chiudere il problema e trovare il risultato occorre introdurre delle costitutive e il risultato quindi dipenderà da come si modella il materiale.
Rimane comunque vero per simmetria che al centro della Terra lo stato di tensione è isotropo. Quindi la tua relazione è corretta a rigore solo in quel punto.
Con l'ipotesi di materiale elastico lineare isotropo e piccole deformazioni viene che nel centro della terra una pressione nulla, quindi un risultato TOTALMENTE diverso dal precedente.
Cerco di fare un po' di ordine:
Anch'io Faussone inizialmente ho impostato il calcolo con la sola pressione (ipotesi di stato di tensione ovunque idrostatico) e mi esce una pressione enorme al centro ($1.8$ milioni di bar)
Poi mi sono accorto che era sbagliato percè la simmetria sferica non implica l'isotropia del tensore degli sforzi: servono due componenti di tensione. A questo punto però per chiudere il problema e trovare il risultato occorre introdurre delle costitutive e il risultato quindi dipenderà da come si modella il materiale.
Rimane comunque vero per simmetria che al centro della Terra lo stato di tensione è isotropo. Quindi la tua relazione è corretta a rigore solo in quel punto.
Con l'ipotesi di materiale elastico lineare isotropo e piccole deformazioni viene che nel centro della terra una pressione nulla, quindi un risultato TOTALMENTE diverso dal precedente.
"ralf86":
Rimane comunque vero per simmetria che al centro della Terra lo stato di tensione è isotropo. Quindi la tua relazione è corretta a rigore solo in quel punto.
Non ho capito bene cosa intendi qui.
In ogni caso la relazione che ho scritto prima per la pressione non è affatto valida solo al centro del pianeta, tanto è vero che, se la densità fosse costante, porta ad una legge di pressione che dipende dal quadrato della distanza dal centro del pianeta, esattamente come hai trovato anche tu, quindi va a zero al centro come si diceva appunto all'inizio.
Ribadisco per hal9000 che la risposta al suo dubbio finale è comunque quella di far attenzione a come varia la densità.
"Faussone":
[quote="ralf86"]Rimane comunque vero per simmetria che al centro della Terra lo stato di tensione è isotropo. Quindi la tua relazione è corretta a rigore solo in quel punto.
Non ho capito bene cosa intendi qui.[/quote]
per parlare di pressione occorre ipotizzare che lo stato sia idrostatico. A meno che tu consideri la Terra come un fluido in quiete
Più corretto è considerare le due componenti di tensione, ma il problema va arricchito di costitutive perchè le incognite ora sono due e non solo la pressione."Faussone":
se la densità fosse costante, porta ad una legge di pressione che dipende dal quadrato della distanza dal centro del pianeta, esattamente come hai trovato anche tu, quindi va a zero al centro come si diceva appunto all'inizio.
quale dici?
Questa non va col qadrato ma si annulla al centro: \[\sigma(r) = A{r^a} + B{r^3}\]
Questa invece va col quadrato ma per $r=0$ non si annulla e da circa 2 milioni di bar.
\[p(r) = p({R_T}) + \frac{{\rho G{M_T}}}{{2R_T}}\left[ {1 - {{\left( {\frac{r}{{{R_T}}}} \right)}^2}} \right]\]
Inoltre questa formula, come ho cercato di spiegare, solo per il fatto che si usi la sola pressione come unica componente tensionale presuppone come ipotesi uno stato idrostatico in tutti i punti cosa secondo da giustificare.
"ralf86":
per parlare di pressione occorre ipotizzare che lo stato sia idrostatico. A meno che tu consideri la Terra come un fluido in quiete
Ed infatti in quell'espressione che ho scritto l'ipotesi fatta è proprio quella di considerare la sfera fatta da un fluido in quiete (si può pensare a un pianeta gassoso o una stella o all'esempio del fluido in assenza di gravità esterna che faceva hal9000 all'inizio, oppure alla terra nella zona del mantello fluido).
"ralf86":
quale dici?
Questa non va col qadrato ma si annulla al centro: \[ \sigma(r) = A{r^a} + B{r^3} \]
Questa invece va col quadrato ma per \( r=0 \) non si annulla e da circa 2 milioni di bar.
\[ p(r) = p({R_T}) + \frac{{\rho G{M_T}}}{{2R_T}}\left[ {1 - {{\left( {\frac{r}{{{R_T}}}} \right)}^2}} \right] \]
Inoltre questa formula, come ho cercato di spiegare, solo per il fatto che si usi la sola pressione come unica componente tensionale presuppone come ipotesi uno stato idrostatico in tutti i punti cosa secondo da giustificare.
Intendevo la seconda, ma l'avevo letta male e non avevo notato quel valore della pressione al centro...
Quello che intendevo è che se si sostituisce nell'espressione della pressione (che si ricava dall'equilibrio radiale, usando solo la simmetria sferica e assumendo equilibrio idrostatico in qualunque punto della sfera):
$ \frac{dp}{dr}= -G \frac{M_{"in"} rho(r)}{r^2}$
$ M_{"in"} = rho 4/3 pi r^3$, supponendo la densità costante, si trova una pressione che va col quadrato dalla distanza dal centro.
Poi avevo dedotto da qui che la pressione al centro sarebbe stata nulla, ma in realtà non facendo il conto mi era sfuggito che integrando a mente mi perdevo una costante, che si può determinare dalla pressione ad un raggio noto (per esempio sulla superficie esterna della sfera). Supponendo quindi pressione nulla al raggio esterno si potrebbe determinare la costante e la pressione al centro, sebbene il calcolo non ha molto significato per un pianeta o una stella, in quanto la densità non sarebbe costante.
Quindi infine mi correggo: anche se la densità fosse costante la pressione al centro non sarebbe nulla, sebbene la forza gravitazionale si annulli (ora correggo l'ultima parte della risposta iniziale a hal9000).
ok perfetto
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