[Notazioni]Spazio degli stati, spazio delle fasi
"Spazio degli stati" e "spazio delle fasi" sono sinonimi? Sono termini che io uso in modo intercambiabile, ma m'è venuto il dubbio che magari un fisico assegni un significato più preciso a ciascuno dei due. (Per intenderci, se un sistema è descritto da coordinate $q_1 ... q_n$ e dal tempo $t$, io chiamo "spazio degli stati" lo spazio delle $n+1$-uple $t, q_1 ldots q_n$).
Grazie.
Grazie.
Risposte
Lo spazio degli stati, o spazio delle configurazioni, è rappresentato dalle $n$-uple $(q_1,...,q_n)$. Lo spazio delle fasi dalle $2n$-uple $(q_1,p_1,...,q_n,p_n)$.
Ah ecco quindi tu le intendi come cose diverse. Mettendoci proprio terra-terra, per una particella con un grado di libertà $x$ lo spazio degli stati è lo spazio delle possibili posizioni $x$, mentre lo spazio delle fasi è lo spazio delle coppie posizione-velocità $(x, dot{x})$. E' corretto?
La dottrina dice questo. Per quanto riguarda lo spazio delle fasi, più che le velocità generalizzate, dovresti considerare gli impulsi coniugati. Spesso non fa molta differenza, ma sicuramente lo sapevi già e hai voluto solo stringare il tuo messaggio.
No, no hai ragione e hai fatto bene a ricordarmelo. Il fatto è che nella letteratura matematica, specialmente quella relativa alle equazioni a derivate parziali, c'è un linguaggio simile ma non uguale a questo. Per esempio, quando uno studia un problema meccanico dal punto di vista strettamente matematico, è normale scegliere unità di misura in modo tale che le masse coinvolte valgano $1$, cosicché velocità e quantità di moto coincidono. Da qui la mia confusione.
Tornando in tema... Ma il tempo non è una coordinata di questi spazi (degli stati o delle fasi)? Ovvero, uno stato (per esempio) è una $n$-upla $(q_1 ... q_n)$ o una $n+1$-upla $(t, q_1 ... q_n)$?
Tornando in tema... Ma il tempo non è una coordinata di questi spazi (degli stati o delle fasi)? Ovvero, uno stato (per esempio) è una $n$-upla $(q_1 ... q_n)$ o una $n+1$-upla $(t, q_1 ... q_n)$?
premetto che sull'argomento so quasi nulla e magari non sono nemmeno la stessa cosa, ma in teoria dei sistemi per esempio per 'spazio degli stati'
si indica una rappresentazione dello 'stato' di un sistema, questa rappresentazione non è univoca e ci sono infinite scelte equivalenti per esempio delle variabili di stato che ne determinano la forma.
di solito per un sistema meccanico risulta comodo scegliere come variabili di stato sia posizioni che velocità. quindi in teoria sotto questo punto di vista anche lo 'stato' del sistema risulta essere un 2n-pla di posizioni e velocità
ps. per il tempo, credo che sia una coordinata solo se il sistema non è stazionario (tempo - invariante)
si indica una rappresentazione dello 'stato' di un sistema, questa rappresentazione non è univoca e ci sono infinite scelte equivalenti per esempio delle variabili di stato che ne determinano la forma.
di solito per un sistema meccanico risulta comodo scegliere come variabili di stato sia posizioni che velocità. quindi in teoria sotto questo punto di vista anche lo 'stato' del sistema risulta essere un 2n-pla di posizioni e velocità
ps. per il tempo, credo che sia una coordinata solo se il sistema non è stazionario (tempo - invariante)
Il tempo è considerato un parametro in entrambi gli spazi. In questo modo puoi introdurre il concetto di traiettoria nello spazio delle configurazioni e nello spazio delle fasi. Dubito che, in alcuni passaggi della teoria o in alcune applicazioni, potesse risultare utile aggiungere anche il tempo. Ma potrei anche sbagliarmi.
Ciao a tutti,
in generale, per come la vedo io, il termine SDF (Spazio Delle Fasi) di per sè è piuttosto generico. Pensate ad esempio al fatto che lo SDF è determinato dalla teoria e, al suo interno, dal modello di cui si sta parlando. In meccanica, tipicamente, è una varietà moltiplicata (banalizzando all'estremo) per un certo [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex], cioè lo spazio delle fasi; in meccanica quantistica è uno spazio di Hilbert. In teoria dei campi è uno spazio di Fock. In questo mi trovo d'accordo con cyd, in particolare per il discorso della non unicità della rappresentazione.
@dissonance
Non so se la precisazione sia necessaria però attento che la relazione tra velocità, nel senso [tex]$\dot{q}$[/tex], e momento (=quantità di moto), nel senso [tex]$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$[/tex], può essere diversa dalla sola proporzionalità tramite la massa. Pensa se nella lagrangiana compare un termine del tipo [tex]$A \dot{q}$[/tex], allora il momento ti risulterà "shiftato" di [tex]$A$[/tex] rispetto a [tex]$\dot{q}$[/tex]. Questo succede ad esempio in elettrodinamica.
@speculor
attento...nello spazio delle configurazioni ci sono, come giustamente facevi notare, solo le [tex]$q$[/tex]. Per determinare lo stato di un sistema meccanico devi sapere anche le velocità. Il fatto che le equazioni del moto siano di secondo ordine nelle derivate temporali, e da qui la necessità di due condizioni iniziali, ti impongono di dover descrivere lo stato in termini di posizioni e velocità.
in generale, per come la vedo io, il termine SDF (Spazio Delle Fasi) di per sè è piuttosto generico. Pensate ad esempio al fatto che lo SDF è determinato dalla teoria e, al suo interno, dal modello di cui si sta parlando. In meccanica, tipicamente, è una varietà moltiplicata (banalizzando all'estremo) per un certo [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex], cioè lo spazio delle fasi; in meccanica quantistica è uno spazio di Hilbert. In teoria dei campi è uno spazio di Fock. In questo mi trovo d'accordo con cyd, in particolare per il discorso della non unicità della rappresentazione.
@dissonance
Non so se la precisazione sia necessaria però attento che la relazione tra velocità, nel senso [tex]$\dot{q}$[/tex], e momento (=quantità di moto), nel senso [tex]$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$[/tex], può essere diversa dalla sola proporzionalità tramite la massa. Pensa se nella lagrangiana compare un termine del tipo [tex]$A \dot{q}$[/tex], allora il momento ti risulterà "shiftato" di [tex]$A$[/tex] rispetto a [tex]$\dot{q}$[/tex]. Questo succede ad esempio in elettrodinamica.
@speculor
attento...nello spazio delle configurazioni ci sono, come giustamente facevi notare, solo le [tex]$q$[/tex]. Per determinare lo stato di un sistema meccanico devi sapere anche le velocità. Il fatto che le equazioni del moto siano di secondo ordine nelle derivate temporali, e da qui la necessità di due condizioni iniziali, ti impongono di dover descrivere lo stato in termini di posizioni e velocità.
alle.fabbri, ovviamente non posso che essere d'accordo con te. Ma questo non toglie che si possa parlare di traiettorie anche nello spazio delle configurazioni.
Certo, fissato un punto generico di questo spazio che rappresenta solamente la posizione iniziale, esisteranno infinite traiettorie passanti per quel punto, una per ogni condizione iniziale imposta alle velocità generalizzate. In ogni modo, non c'è dubbio che, negli sviluppi della meccanica che avrebbero portato anche alla meccanica quantistica, proprio per le caratteristiche che hai evidenziato, lo spazio delle fasi assunse un ruolo fondamentale.
Certo, fissato un punto generico di questo spazio che rappresenta solamente la posizione iniziale, esisteranno infinite traiettorie passanti per quel punto, una per ogni condizione iniziale imposta alle velocità generalizzate. In ogni modo, non c'è dubbio che, negli sviluppi della meccanica che avrebbero portato anche alla meccanica quantistica, proprio per le caratteristiche che hai evidenziato, lo spazio delle fasi assunse un ruolo fondamentale.
vi prego di essere più rigorosi nelle definizioni.
lo spazio delle configurazioni è lo spazio delle posizioni atemporale, non esiste il concetto stazionario in questo spazio perchè non è confinato dalla ipotesi di esistenza del tempo.
lo spazio delle fasi è invece costituito dalle n-uple di posizione e quantità di moto, qui è inclusa l'astrazione del tempo che di per se non è falsificabile, lo spazio delle configurazioni potrebbe variare anche per altre ragioni che non conosciamo ancora(esempio l'entropia che deve aumentare!).... se non ci fosse il movimento (variazione dello spazio delle configurazioni) a che cosa ci servirebbe il tempo?
lo spazio delle configurazioni è lo spazio delle posizioni atemporale, non esiste il concetto stazionario in questo spazio perchè non è confinato dalla ipotesi di esistenza del tempo.
lo spazio delle fasi è invece costituito dalle n-uple di posizione e quantità di moto, qui è inclusa l'astrazione del tempo che di per se non è falsificabile, lo spazio delle configurazioni potrebbe variare anche per altre ragioni che non conosciamo ancora(esempio l'entropia che deve aumentare!).... se non ci fosse il movimento (variazione dello spazio delle configurazioni) a che cosa ci servirebbe il tempo?
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